Задание №16 Т/Р №120 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ($ABC$ – основание) $M$– точка пересечения медиан грани $PBC$.
a) Докажите, что прямая $AM$ делит высоту $PO$ пирамиды в отношении $3:1$, считая от точки $P$.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках $A$, $B$, $M$, $P$, если известно, что $AB=12$, $PC=10$.

Решение:

а) Пусть $O$ – центр основания (точка пересечения медиан $\Delta ABC$).

Очевидно (по свойству медиан треугольника), $AO:ON=2:1$  ($N$ – середина $BC$).

При этом $AN=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3.$

Тогда $AO=4\sqrt3,$  $ON=2\sqrt3.$

Заметим, что (опять же, по свойству медиан) $PM:MN=2:1$.

При этом $PN=8$ (по т. Пифагора из $\Delta PCN$).

Тогда $PM=\frac{16}{3},$  $MN=\frac{8}{3}.$

Проведем $OL$ параллельно $AM$ ($L\in PN$).

По теореме о пропорциональных отрезках $AO:ON=ML:LN$, поэтому $ML:LN=2:1$. С учетом того, что $MN=\frac{8}{3}$ имеем $ML=\frac{16}{9},$  $LN=\frac{8}{9}.$

Опять же по теореме о пропорциональных отрезках $PK:KO=PM:ML=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{16}{9}}=3:1.$

Итак, $PK:KO=3:1.$ Что и требовалось доказать.

б) Будем рассматривать многогранник с вершинами в точках $A,B,M,P$ как пирамиду с основанием $AMP$ и вершиной $B$.

Причем заметим, что $BN$ – высота пирамиды ($BN\perp (APN)$).

По тореме косинусов для $\Delta APN:$

$AN^2=AP^2+NP^2-2AP\cdot NP\cdot cosP;$

$cosP=\frac{100+64-36\cdot 3}{2\cdot 10\cdot 8};$

$cosP=\frac{7}{20};$

Тогда $sin P=\frac{\sqrt{351}}{20}=\frac{3\sqrt{39}}{20}.$

$S_{AMP}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot PM\cdot sinP=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{16}{3}\cdot \frac{3\sqrt{39}}{20}=4\sqrt{39}.$

$V_{AMPB}=\frac{1}{3}\cdot S_{APM}\cdot BN=8\sqrt{39}.$

Ответ: $8\sqrt{39}.$