Задание №16 Т/Р №120 А. Ларина

2023-07-05

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.

В правильной треугольной пирамиде $PABC$ ($ABC$ – основание) $M$– точка пересечения медиан грани $PBC$.
a) Докажите, что прямая $AM$ делит высоту $PO$ пирамиды в отношении $3:1$, считая от точки $P$.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках $A$, $B$, $M$, $P$, если известно, что $AB=12$, $PC=10$.

Решение:

а) Пусть $O$ – центр основания (точка пересечения медиан $\Delta ABC$).

Очевидно (по свойству медиан треугольника), $AO:ON=2:1$  ($N$ – середина $BC$).

При этом $AN=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3.$

Тогда $AO=4\sqrt3,$  $ON=2\sqrt3.$

78

Заметим, что (опять же, по свойству медиан) $PM:MN=2:1$.

При этом $PN=8$ (по т. Пифагора из $\Delta PCN$).

Тогда $PM=\frac{16}{3},$  $MN=\frac{8}{3}.$

Проведем $OL$ параллельно $AM$ ($L\in PN$).

По теореме о пропорциональных отрезках $AO:ON=ML:LN$, поэтому $ML:LN=2:1$. С учетом того, что $MN=\frac{8}{3}$ имеем $ML=\frac{16}{9},$  $LN=\frac{8}{9}.$

Опять же по теореме о пропорциональных отрезках $PK:KO=PM:ML=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{16}{9}}=3:1.$

Итак, $PK:KO=3:1.$ Что и требовалось доказать.

б) Будем рассматривать многогранник с вершинами в точках $A,B,M,P$ как пирамиду с основанием $AMP$ и вершиной $B$.

Причем заметим, что $BN$ – высота пирамиды ($BN\perp (APN)$).

По тореме косинусов для $\Delta APN:$

$AN^2=AP^2+NP^2-2AP\cdot NP\cdot cosP;$

$cosP=\frac{100+64-36\cdot 3}{2\cdot 10\cdot 8};$

$cosP=\frac{7}{20};$

Тогда $sin P=\frac{\sqrt{351}}{20}=\frac{3\sqrt{39}}{20}.$

$S_{AMP}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot PM\cdot sinP=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{16}{3}\cdot \frac{3\sqrt{39}}{20}=4\sqrt{39}.$

$V_{AMPB}=\frac{1}{3}\cdot S_{APM}\cdot BN=8\sqrt{39}.$

Ответ: $8\sqrt{39}.$

Печать страницы
комментариев 7
  1. Sasha

    Обычно когда решаешь пункт А не нужно использовать данные из пункта Б.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, безусловно. Но ведь все равно нам для выполнения пункта б придется делать вычисления. Так что…

      [ Ответить ]
  2. ганс

    крутяк

    [ Ответить ]
  3. Михаил

    правильный ответ 16 корней из 39

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нет, правильный ответ [latexpage]$8\sqrt{39}.$

      [ Ответить ]
  4. Андрей

    здравствуйте) можно было проще доказать первый пункт: по формуле( PK/KO=PM/MN(1+NO/AO)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, для тех, кто знает теорему Менелая.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




5 × 1 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif