Задание №16 Т/Р №120 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.

В правильной треугольной пирамиде PABC (ABC – основание) M– точка пересечения медиан грани PBC.
a) Докажите, что прямая AM делит высоту PO пирамиды в отношении 3:1, считая от точки P.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках A, B, M, P, если известно, что AB=12, PC=10.

Решение:

а) Пусть O – центр основания (точка пересечения медиан \Delta ABC).

Очевидно (по свойству медиан треугольника), AO:ON=2:1  (N – середина BC).

При этом AN=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3.

Тогда AO=4\sqrt3,  ON=2\sqrt3.

Заметим, что (опять же, по свойству медиан) PM:MN=2:1.

При этом PN=8 (по т. Пифагора из \Delta PCN).

Тогда PM=\frac{16}{3},  MN=\frac{8}{3}.

Проведем OL параллельно AM (L\in PN).

По теореме о пропорциональных отрезках AO:ON=ML:LN, поэтому ML:LN=2:1. С учетом того, что MN=\frac{8}{3} имеем ML=\frac{16}{9},  LN=\frac{8}{9}.

Опять же по теореме о пропорциональных отрезках PK:KO=PM:ML=\frac{\frac{16}{3}}{\frac{16}{9}}=3:1.

Итак, PK:KO=3:1. Что и требовалось доказать.

б) Будем рассматривать многогранник с вершинами в точках A,B,M,P как пирамиду с основанием AMP и вершиной B.

Причем заметим, что BN – высота пирамиды (BN\perp (APN)).

По тореме косинусов для \Delta APN:

AN^2=AP^2+NP^2-2AP\cdot NP\cdot cosP;

cosP=\frac{100+64-36\cdot 3}{2\cdot 10\cdot 8};

cosP=\frac{7}{20};

Тогда sin P=\frac{\sqrt{351}}{20}=\frac{3\sqrt{39}}{20}.

S_{AMP}=\frac{1}{2}\cdot AP\cdot PM\cdot sinP=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{16}{3}\cdot \frac{3\sqrt{39}}{20}=4\sqrt{39}.

V_{AMPB}=\frac{1}{3}\cdot S_{APM}\cdot BN=8\sqrt{39}.

Ответ: 8\sqrt{39}.

Печать страницы
Комментариев: 7
  1. Sasha

    Обычно когда решаешь пункт А не нужно использовать данные из пункта Б.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, безусловно. Но ведь все равно нам для выполнения пункта б придется делать вычисления. Так что…

      [ Ответить ]
  2. ганс

    крутяк

    [ Ответить ]
  3. Михаил

    правильный ответ 16 корней из 39

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Нет, правильный ответ 8\sqrt{39}.

      [ Ответить ]
  4. Андрей

    здравствуйте) можно было проще доказать первый пункт: по формуле( PK/KO=PM/MN(1+NO/AO)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, для тех, кто знает теорему Менелая.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif