В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»
Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.
В правильной треугольной пирамиде (
– основание)
– точка пересечения медиан грани
.
a) Докажите, что прямая делит высоту
пирамиды в отношении
, считая от точки
.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках ,
,
,
, если известно, что
,
.
Решение:
а) Пусть – центр основания (точка пересечения медиан
).
Очевидно (по свойству медиан треугольника), (
– середина
).
При этом
Тогда
Заметим, что (опять же, по свойству медиан) .
При этом (по т. Пифагора из
).
Тогда
Проведем параллельно
(
).
По теореме о пропорциональных отрезках , поэтому
. С учетом того, что
имеем
Опять же по теореме о пропорциональных отрезках
Итак, Что и требовалось доказать.
б) Будем рассматривать многогранник с вершинами в точках как пирамиду с основанием
и вершиной
.
Причем заметим, что – высота пирамиды (
).
По тореме косинусов для
Тогда
Ответ:
Обычно когда решаешь пункт А не нужно использовать данные из пункта Б.
Да, безусловно. Но ведь все равно нам для выполнения пункта б придется делать вычисления. Так что…
крутяк
правильный ответ 16 корней из 39
Нет, правильный ответ
здравствуйте) можно было проще доказать первый пункт: по формуле( PK/KO=PM/MN(1+NO/AO)
Да, для тех, кто знает теорему Менелая.