Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина
16. Высота равнобедренной трапеции (
и
– основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон ,
и
трапеции, если известно, что
,
.
Решение:
а)
На продолжении прямой за точку
отложим отрезок
равный
Тогда
– параллелограмм и
Доказав перпендикулярность прямых
, получим и перпендикулярность прямых
Заметим, в равнобедренной трапеции диагонали равны. Треугольник – равнобедренный.
Высота трапеции (см. рис.) – высота треугольника
При этом
– и медиана в треугольнике
Обозначив длины оснований за получим, согласно условию, что
Итак, в треугольнике медиана
оказалась равна половине стороны, к которой проведена. А значит, треугольник – прямоугольный. Действительно, точка
равноудалена от точек
, а значит является центром описанной окружности около треугольника
– диаметр; а вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.
Итак, прямые (а значит и
) перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
б)Раз окружность касается сторон
трапеции, то центр
окружности лежит на пересечении биссектрис углов
и
.
Пусть Тогда
.
При этом из треугольника (
– высота трапеции, равная
, как следует из п.а):
Из треугольника (
– середина
,
– и есть радиус данной окружности):
Найдем зная, что
Тогда
Стало быть,
Откуда следует, что
Итак,
Ответ: б)
Добавить комментарий