Задание №16 Т/Р №162 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15№17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

16. Высота равнобедренной трапеции ABCD (BC и AD – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон AB, BC и CD трапеции, если известно, что BC=4, AD=6.

Решение:

а)

На продолжении прямой AD за точку D отложим отрезок DL, равный BC. Тогда BCLD – параллелограмм и BD\parallel CL. Доказав перпендикулярность прямых AC,CL, получим и перпендикулярность прямых AC,BD.

Заметим, в равнобедренной трапеции диагонали равны. Треугольник ACL – равнобедренный.

Высота CQ трапеции (см. рис.) – высота треугольника ACL. При этом CQ – и медиана в треугольнике ACL.

Обозначив длины оснований за x,y, получим, согласно условию, что CQ=\frac{x+y}{2}.

Итак, в треугольнике ACD медиана CQ оказалась равна половине стороны, к которой проведена. А значит, треугольник – прямоугольный. Действительно, точка Q равноудалена от точек A,C,L, а значит является центром описанной окружности около треугольника ACL,  AL – диаметр; а вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Итак, прямые AC,CL (а значит и BD,AC) перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б)Раз окружность касается сторон AB,BC,CD трапеции, то центр O окружности лежит на пересечении биссектрис углов B и C.

Пусть \alpha =\angle BAD. Тогда \angle CBO=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.

При этом из треугольника  ABH (BH– высота трапеции, равная  5, как следует из п.а):

cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{26}}.

Из треугольника BOT (T – середина BC, TO – и есть радиус данной окружности):

tg(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=\frac{TO}{2};

ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{TO}{2}.

Найдем ctg\frac{\alpha}{2}, зная, что cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{26}}.

cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{cos\alpha +1}{2}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{26}}}{2}=\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}.

Тогда

sin^2\frac{\alpha}{2} =1-\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}.

Стало быть,

ctg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}}{\frac{\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}}=\frac{\sqrt{26}+1}{\sqrt{26}-1}=\frac{(\sqrt{26}+1)^2}{25}.

Откуда следует, что

ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{26}+1}{5}.

Итак,

TO=2ctg\frac{\alpha}{2}=0,4(\sqrt{26}+1).

Ответ: б) 0,4(\sqrt{26}+1).

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif