Задание №16 Т/Р №162 А. Ларина

 Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

16. Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC$ и $AD$ – основания) равна длине её средней линии.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон $AB$, $BC$ и $CD$ трапеции, если известно, что $BC=4$, $AD=6$.

Решение:

а)

На продолжении прямой $AD$ за точку $D$ отложим отрезок $DL,$ равный $BC.$ Тогда $BCLD$ – параллелограмм и $BD\parallel CL.$ Доказав перпендикулярность прямых $AC,CL$, получим и перпендикулярность прямых $AC,BD.$

Заметим, в равнобедренной трапеции диагонали равны. Треугольник $ACL$ – равнобедренный.

Высота $CQ$ трапеции (см. рис.) – высота треугольника $ACL.$ При этом $CQ$ – и медиана в треугольнике $ACL.$

Обозначив длины оснований за $x,y,$ получим, согласно условию, что $CQ=\frac{x+y}{2}.$

Итак, в треугольнике $ACD$ медиана $CQ$ оказалась равна половине стороны, к которой проведена. А значит, треугольник – прямоугольный. Действительно, точка $Q$ равноудалена от точек $A,C,L$, а значит является центром описанной окружности около треугольника $ACL,$  $AL$ – диаметр; а вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Итак, прямые $AC,CL$ (а значит и $BD,AC$) перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б)Раз окружность касается сторон $AB,BC,CD$ трапеции, то центр $O$ окружности лежит на пересечении биссектрис углов $B$ и $C$.

Пусть $\alpha =\angle BAD.$ Тогда $\angle CBO=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$.

При этом из треугольника  $ABH$ ($BH$– высота трапеции, равная  $5$, как следует из п.а):

$cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{26}}.$

Из треугольника $BOT$ ($T$ – середина $BC$, $TO$ – и есть радиус данной окружности):

$tg(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=\frac{TO}{2};$

$ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{TO}{2}.$

Найдем $ctg\frac{\alpha}{2},$ зная, что $cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{26}}.$

$cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{cos\alpha +1}{2}=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{26}}}{2}=\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}.$

Тогда

$sin^2\frac{\alpha}{2} =1-\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}.$

Стало быть,

$ctg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}}{\frac{\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}}=\frac{\sqrt{26}+1}{\sqrt{26}-1}=\frac{(\sqrt{26}+1)^2}{25}.$

Откуда следует, что

$ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{26}+1}{5}.$

Итак,

$TO=2ctg\frac{\alpha}{2}=0,4(\sqrt{26}+1).$

Ответ: б) $0,4(\sqrt{26}+1).$