Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина
16. Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями и
вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
Решение:
a) Пусть радиус данной окружности – Пусть
Треугольник вписан в окружность, значит (по теореме синусов)
(*)
Но и треугольник вписан в ту же окружность, значит
(**)
Тогда, из (*) и (**):
(***)
Подставляя последнее равенство (***) в (*), вскоре получим:
Аналогично, применяя теорему синусов для треугольников где
, получим
Итак, квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Опираясь на пункт (a) задачи, имеем
тогда
Откуда
Для нахождения площади четырехугольника
воспользуемся формулой Брахмагупты:
где – полупериметр четырехугольника, вписанного в окружность.
Итак,
Ответ: б) .
Извините, как в 16 задании получился sin^2=b^2/b^2+d^2
Верхнее выражение b^2(1-sin^2)=d^2*sin^2 не доходит до меня(
Уже 1.5 часа думаю, но не могу понять(((
Помогите, пожалуйста
При возведении обеих частей
получаем
или, с учетом
, 


откуда и 
По свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому
Раскрываем скобки:
Далее
ОГРОМНЕЙШЕЕ СПАСИБО! Теперь все стало понятно!