Задание №16 Т/Р №163 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №163 А. Ларина

16. Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями $AC$ и $BD$ вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что $AB=\sqrt5,BC=\sqrt2,CD=\sqrt7.$ 

Решение:

a) Пусть радиус данной окружности – $R,$$AB=a,BC=b,CD=c,AD=d.$ Пусть $\angle BAC=\alpha.$

Треугольник $ABC$ вписан в окружность, значит (по теореме синусов)

$\large\frac{b}{sin\alpha}=2R$  (*)

Но и треугольник $ABD$ вписан в ту же окружность, значит

$\large\frac{d}{sin(90^{\circ}-\alpha)}=2R$  (**)

Тогда, из (*) и (**):

$\large\frac{b}{sin \alpha}=\frac{d}{cos\alpha};$

$\large\frac{b^2}{sin^2 \alpha}=\frac{d^2}{1-sin^2\alpha};$

$b^2(1-sin^2\alpha)=d^2sin^2 \alpha;$

$sin^2\alpha =\frac{b^2}{b^2+d^2}$  (***)

Подставляя последнее равенство (***) в (*), вскоре получим:

$\large\frac{b^2}{\frac{b^2}{b^2+d^2}}=4R^2;$

$4R^2=b^2+d^2.$

Аналогично, применяя теорему синусов для  треугольников $ABD,CAD,$ где $\angle BDA=\beta,\angle CAD=90^{\circ}-\beta$, получим

$4R^2=a^2+c^2.$

Итак, квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.

б) Опираясь на пункт (a) задачи, имеем

$a^2+c^2=b^2+d^2,$

тогда

$(\sqrt 5)^2+(\sqrt 7)^2=(\sqrt2)^2+AD^2.$

Откуда

$AD=\sqrt{10}.$

Для нахождения площади $S$ четырехугольника $ABCD$ воспользуемся формулой Брахмагупты:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},$

где $p$ – полупериметр четырехугольника, вписанного в окружность.

Итак,

$\small S=\sqrt{(\frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt7+\sqrt{10}}{2}-\sqrt2)(\frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt7+\sqrt{10}}{2}-\sqrt5(\frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt7+\sqrt{10}}{2}-\sqrt7)(\frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt7+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10})}=$

$\small =\frac{1}{4}\cdot \sqrt{(\sqrt5+\sqrt7+\sqrt{10}-\sqrt2)(\sqrt2-\sqrt5+\sqrt7+\sqrt{10})(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt7+\sqrt{10})(\sqrt2+\sqrt5+\sqrt7-\sqrt{10})}=$

$\small =\frac{ \sqrt{((\sqrt7+\sqrt{10})+(\sqrt5-\sqrt2))((\sqrt7+\sqrt{10})-(\sqrt5-\sqrt2))((\sqrt2+\sqrt5)+(\sqrt{10}-\sqrt7))((\sqrt2+\sqrt5)-(\sqrt{10}-\sqrt7))}}{4}=$

$=\frac{1}{4}\cdot\sqrt{(\sqrt7+\sqrt{10})^2-(\sqrt5-\sqrt2)^2)((\sqrt2+\sqrt5)^2-(\sqrt{10}-\sqrt7)^2)}=$

$=\frac{1}{4}\cdot\sqrt{(17+2\sqrt{70}-7+2\sqrt{10})(7+2\sqrt{10}-17+2\sqrt{70})}=$

$=\frac{1}{4}\cdot\sqrt{(2\sqrt{70}+2\sqrt{10}+10)(2\sqrt{10}+2\sqrt{70}-10)}=\frac{1}{4}\cdot\sqrt{(2\sqrt{70}+2\sqrt{10})^2-100}=$

$=\frac{1}{4}\cdot\sqrt{220+80\sqrt{7}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{55+20\sqrt7}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{5(11+4\sqrt7)}=$

$=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{5(2+\sqrt7)^2}=\frac{\sqrt5(2+\sqrt7)}{2}.$

Ответ: б) $\frac{\sqrt5(2+\sqrt7)}{2}$.