Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина
16. В треугольнике
Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны в точке
.
а) Докажите, что
б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах и
, перпендикулярного
и касающегося окружности ω.
Решение:
a) По теореме косинусов для треугольника
Пусть – точки касания окружности ω со сторонами
Пусть тогда
По свойству отрезков касательных тогда
Далее,
Наконец, поскольку то
то есть
Итак,
б) Пусть отрезок с концами на сторонах и
, перпендикулярный
и касающийся окружности ω, –
(
принадлежит
).
Найдем радиус вписанной окружности:
Треугольник – прямоугольный,
Тогда
Заметив, что приходим к тому, что
Пусть – высота треугольника
В треугольнике угол
равен
, откуда
а значит,
и
Треугольники подобны по двум углам.
Тогда
откуда
Ответ: б)
Добавить комментарий