Задание №16 Т/Р №165 А. Ларина

2016-10-13

 Смотрите также  №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

16. В треугольнике ABC BA=8,BC=7,\angle B=120^{\circ}.

Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны AC в точке M.

а) Докажите, что AM=BC.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах AB и AC, перпендикулярного AB и касающегося окружности  ω.

 

Решение:

a) По теореме косинусов для треугольника ABC:

AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot cosB;

AC^2=64+49-2\cdot8\cdot 7\cdot (-\fraq{1}{2});

AC=13.

Пусть K,N – точки касания окружности  ω со сторонами AB,BC.

Пусть AM=x, тогда MC=13-x.

По свойству отрезков касательных NC=MC=13-x, тогда BN=7-(13-x)=x-6.

Далее, KB=BN=x-6,  AK=8-(x-6)=14-x.

Наконец, поскольку AM=AK, то 14-x=x, то есть x=7.

Итак, AM=BC=7.

б) Пусть отрезок с концами на сторонах AB и AC, перпендикулярный AB и касающийся окружности  ω, – EF (E принадлежит AB).

Найдем радиус r вписанной окружности:

r=\frac{S_{ABC}}{p_{ABC}}=\frac{2S_{ABC}}{AB+BC+AC}=\frac{2\frac{AB\cdot BC\cdot sin B}{2}}{AB+BC+AC}=\frac{8\cdot 7\cdot \frac{\sqrt3}{2}}{8+7+13}=\sqrt 3.

Треугольник BOK – прямоугольный, \angle KOB=30^{\circ}.

Тогда

KB=KO\cdot tg30^{\circ}=\sqrt3\cdot \frac{1}{\sqrt3}=1.

Заметив, что EK=r=\sqrt3, приходим к тому, что

AE=AB-EK-KB=7-\sqrt3.

Пусть CH – высота треугольника ABC.

В треугольнике BCH угол B равен 60^{\circ}, откуда \angle HCB=30^{\circ}, а значит,

BH=\frac{BC}{2}=\frac{7}{2} и HC=\sqrt{49-\frac{49}{4}}=\frac{7\sqrt3}{2}.

Треугольники AEF,AHC подобны по двум углам.

Тогда

\frac{EF}{HC}=\frac{AE}{AH}, откуда

EF=\frac{AE\cdot HC}{AH}=\frac{(7-\sqrt3)\frac{7\sqrt3}{2}}{8+\frac{7}{2}}=\frac{49\sqrt3-21}{23}.

Ответ: б) \frac{49\sqrt3-21}{23}.

 

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif