Задание №16 Т/Р №165 А. Ларина

 Смотрите также  №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №165 А. Ларина

16. В треугольнике

Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны в точке .

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах и , перпендикулярного и касающегося окружности  ω.

Решение:

a) По теореме косинусов для треугольника

Пусть – точки касания окружности  ω со сторонами

Пусть тогда

По свойству отрезков касательных тогда

Далее,  

Наконец, поскольку то то есть

Итак,

б) Пусть отрезок с концами на сторонах и , перпендикулярный и касающийся окружности  ω, – ( принадлежит ).

Найдем радиус вписанной окружности:

Треугольник – прямоугольный,

Тогда

Заметив, что приходим к тому, что

Пусть – высота треугольника

В треугольнике угол равен , откуда а значит,

и

Треугольники подобны по двум углам.

Тогда

откуда

Ответ: б)