Задание №16 Т/Р №168 А. Ларина

2016-10-26

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

16. Окружность ω с центром в точке O касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB и AC. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке E касается стороны BC в точке K.
а) Докажите, что BK=CM.
б) Найдите площадь четырехугольника OKEM, если известно, что AC=5,BC=6,AB=4.

Решение:

a) Пусть N,F – точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AB,AC соответственно. Пусть T,P – точки касания вневписанной  окружности с продолжениями сторон AB,AC соответственно.

При доказательстве будем использовать свойство отрезков касательных:

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны

BK=BN=AT-(BT+AN)=AP-(BM+AF)=

=(AF+FC+CP)-(BM+AF)=FC+CP-BM=KC+MC-BM=

=KM+MC+MC-BK-KM=2MC-BK.

Откуда

2BK=2MC или BK=MC.

Что и требовалось доказать.

б) По теореме косинусов для треугольника ABC:

AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot cosB;

25=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot cosB;

cosB=\frac{9}{16}.

Тогда

sin B=\sqrt{1-\frac{81}{256}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}.

sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{9}{16}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{32}}=\frac{\sqrt{14}}{8}.

cos\frac{B}{2}=\sqrt{1-\frac{14}{64}}=\frac{5\sqrt2}{8}.

tg\frac{B}{2}=\frac{\frac{\sqrt{14}}{8}}{\frac{5\sqrt2}{8}}=\frac{\sqrt7}{5}.

Найдем радиус r вписанной окружности в треугольник ABC:

r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{\frac{AB\cdot BC\cdot sin B}{2}}{\frac{AB+BC+AC}{2}}=\frac{\sqrt7}{2}.

Из треугольника BEK:

tg\frac{B}{2}=\frac{EK}{BK};

BK=\frac{r}{tg\frac{B}{2}}=\frac{\frac{\sqrt7}{2}}{\frac{\sqrt7}{5}}=\frac{5}{2}.

Тогда, так как  BK=MC=\frac{5}{2} и BC=6, то BM=\frac{7}{2}.

Несложно заметить, что \angle EBK+\anglq KBO=90^{\circ}.

Тогда треугольники BEK,OBM подобны по двум углам и EK:BM=BK:OM.

Тогда

OM=\frac{BM\cdot BK}{EK}=\frac{\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}}{\frac{\sqrt7}{2}}=\frac{5\sqrt7}{2}.

Наконец, KEMO – трапеция (очевидно, KE\parallel OM), KM – высота трапеции.

S_{KEMO}=\frac{KE+OM}{2}\cdot KM=\frac{\frac{\sqrt7}{2}+\frac{5\sqrt7}{2}}{2}\cdot 1=\frac{3\sqrt7}{2}.

Ответ: б) \frac{3\sqrt7}{2}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif