Задание №16 Т/Р №168 А. Ларина

 Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

16. Окружность ω с центром в точке касается стороны треугольника в точке и продолжений сторон и . Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке касается стороны в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что

Решение:

a) Пусть – точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами соответственно. Пусть – точки касания вневписанной  окружности с продолжениями сторон соответственно.

При доказательстве будем использовать свойство отрезков касательных:

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны

Откуда

или

Что и требовалось доказать.

б) По теореме косинусов для треугольника

Тогда

Найдем радиус вписанной окружности в треугольник

Из треугольника

Тогда, так как   и то

Несложно заметить, что

Тогда треугольники подобны по двум углам и

Тогда

Наконец, – трапеция (очевидно, ), – высота трапеции.

Ответ: б)