Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина
16. Окружность ω с центром в точке касается стороны
треугольника
в точке
и продолжений сторон
и
. Вписанная в этот треугольник окружность с центром в точке
касается стороны
в точке
.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что
Решение:
a) Пусть – точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами
соответственно. Пусть
– точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон
соответственно.
При доказательстве будем использовать свойство отрезков касательных:
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны
Откуда
или
Что и требовалось доказать.
б) По теореме косинусов для треугольника
Тогда
Найдем радиус вписанной окружности в треугольник
Из треугольника
Тогда, так как и
то
Несложно заметить, что
Тогда треугольники подобны по двум углам и
Тогда
Наконец, – трапеция (очевидно,
),
– высота трапеции.
Ответ: б)
Добавить комментарий