Задание №16 Т/Р №171 А. Ларина

2016-11-17

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №171 А. Ларина

16. На диагонали AC параллелограмма ABCD отмечены точки E и P, причем AE:EP:PC=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны AB и BC в точках K и M

соответственно.
a) Докажите, что KM\parallel AC.
б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь пятиугольника BKEPM  равна 30.

Решение:

а)

Треугольники AKE,CED имеют коэффициент подобия \frac{AE}{EC}=\frac{1}{3}.

Тогда AK:CD=1:3 или AK:AB=1:3.

Аналогично доказывается, что и MC:BC=1:3.

Итак, BK:BA=BM:BC=2:3 и у треугольников KBM,ABC угол B – общий. Значит, указанные треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Откуда следует равенство углов, например, BKM,BAC. В свою очередь, поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых KM,AC и секущей AB, то прямые KM, AC параллельны по признаку параллельности прямых.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть T,X – середины AB,BC соответственно.

Заметим, S_{AKE}:S_{KTE}=AK:KT=AK:(AT-AK)=\frac{AB}{3}:\frac{AB}{6}=2.

Пусть S_{KTE}=x, тогда S_{AKE}=2x.

Поскольку TE – средняя линия треугольника ABO, то S_{ATE}:S_{ABO}=1:4.

Стало быть, S_{TBOE}=9x.

Согласно условию, 30=20x или x=1,5.

Заметим, треугольники ABO,CDO и BCO,ADO как соответственно равные, имеют и равные площади. Учитывая, что медиана делит треугольник на два равновеликих, наблюдаем и равенство площадей треугольников ABO,CBO (а также и ADO,CDO).

Итак, S_{ABCD}=4\cdot 12x=48x=72.

Ответ: б) 72.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif