Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина
16. На диагонали параллелограмма
отмечены точки
и
, причем
. Прямые
и
пересекают стороны
и
в точках
и
соответственно.
a) Докажите, что
б) Найдите площадь параллелограмма , если известно, что площадь пятиугольника
равна
.
Решение:
а)
Треугольники имеют коэффициент подобия
Тогда или
.
Аналогично доказывается, что и .
Итак, и у треугольников
угол
– общий. Значит, указанные треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Откуда следует равенство углов, например,
В свою очередь, поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых
и секущей
то прямые
,
параллельны по признаку параллельности прямых.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть – середины
соответственно.
Заметим,
Пусть , тогда
.
Поскольку – средняя линия треугольника
то
Стало быть,
Согласно условию, или
Заметим, треугольники и
как соответственно равные, имеют и равные площади. Учитывая, что медиана делит треугольник на два равновеликих, наблюдаем и равенство площадей треугольников
(а также и
).
Итак,
Ответ: б)
Добавить комментарий