Задание №16 Т/Р №171 А. Ларина

 Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №171 А. Ларина

16. На диагонали параллелограмма отмечены точки и , причем . Прямые и пересекают стороны и в точках и

соответственно.
a) Докажите, что
б) Найдите площадь параллелограмма , если известно, что площадь пятиугольника  равна .

Решение:

а)

Треугольники имеют коэффициент подобия

Тогда или .

Аналогично доказывается, что и .

Итак, и у треугольников угол – общий. Значит, указанные треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Откуда следует равенство углов, например, В свою очередь, поскольку указанные равные углы – соответственные при прямых и секущей то прямые , параллельны по признаку параллельности прямых.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть – середины соответственно.

Заметим,

Пусть , тогда .

Поскольку  – средняя линия треугольника то

Стало быть,

Согласно условию, или

Заметим, треугольники и как соответственно равные, имеют и равные площади. Учитывая, что медиана делит треугольник на два равновеликих, наблюдаем и равенство площадей треугольников (а также и ).

Итак,

Ответ: б)