Задание №16 Т/Р №181 А. Ларина

 Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

16. В треугольнике стороны . Первая окружность вписана в треугольник , а вторая касается и продолжения сторон и .

А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно .
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны , если .

Решение:

а) Пусть радиусы вписанной и вневписанной окружностей – и соответственно.

Пусть – центры вписанной, вневписанной окружностей.

Пусть – точки касания вписанной окружности со сторонами   – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон и стороной соответсвенно.

Очевидно, – квадраты со сторонами и соответственно.

По свойству отрезков касательных и Замечаем,

Тогда Откуда

Далее распишем площадь треугольника двумя способами:

Итак,

б) Найдем расстояние между точками касания окружностей стороны .

По условию , в тоже время откуда

Итак,

Ответ: а) ; б)