Задание №16 Т/Р №181 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

16. В треугольнике $ABC$ стороны $AB:BC:AC=3:4:5$. Первая окружность вписана в треугольник $ABC$, а вторая касается $AB$ и продолжения сторон $BC$ и $AC$.

А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно $2:1$.
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны $AB$, если $AC=15$.

Решение:

а) Пусть $AC=5x,BC=4x,AB=3x,$ радиусы вписанной и вневписанной окружностей – $r$ и $R$ соответственно.

Пусть $O,Q$ – центры вписанной, вневписанной окружностей.

Пусть $M,F$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $BC,AB;$   $D,E, L$ – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон $BC,AC$ и стороной $AB$ соответсвенно.

Очевидно, $MOFB,QDBL$ – квадраты со сторонами $r$ и $R$ соответственно.

По свойству отрезков касательных $CD=CE$ и $AL=AE.$ Замечаем, $AL=3x-R.$

Тогда $4x+R=5x+3x-R.$ Откуда $R=2x.$

Далее распишем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

$\frac{AB\cdot BC}{2}=p\cdot r;$

$\frac{3x\cdot 4x}{2}=\frac{3x+4x+5x}{2}\cdot r;$

$r=x.$

Итак, $R:r=2:1.$

б) Найдем расстояние $FL$ между точками касания окружностей стороны $AB$.

$FL=BL-BF=R-r=2x-x=x.$

По условию $AC=15$, в тоже время $AC=5x,$ откуда $x=3.$

Итак, $FL=3.$

Ответ: а) $2:1$; б) $3.$