Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №181 А. Ларина
16. В треугольнике стороны
. Первая окружность вписана в треугольник
, а вторая касается
и продолжения сторон
и
.
А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно .
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны , если
.
Решение:
а) Пусть радиусы вписанной и вневписанной окружностей –
и
соответственно.
Пусть – центры вписанной, вневписанной окружностей.
Пусть – точки касания вписанной окружности со сторонами
– точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон
и стороной
соответсвенно.
Очевидно, – квадраты со сторонами
и
соответственно.
По свойству отрезков касательных и
Замечаем,
Тогда Откуда
Далее распишем площадь треугольника двумя способами:
Итак,
б) Найдем расстояние между точками касания окружностей стороны
.
По условию , в тоже время
откуда
Итак,
Ответ: а) ; б)
А почему треугольник прямоугольный,а не произвольный?
По теореме, обратной теореме Пифагора.
25x^2=16x^2+9x^2