Задание №16 Т/Р №181 А. Ларина

2017-01-24

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №181 А. Ларина 

16. В треугольнике ABC стороны AB:BC:AC=3:4:5. Первая окружность вписана в треугольник ABC, а вторая касается AB и продолжения сторон BC и AC.

А) Доказать, что отношение радиусов окружностей равно 2:1.
Б) Найти расстояние между точками касания окружностей стороны AB, если AC=15.

Решение:

а) Пусть AC=5x,BC=4x,AB=3x, радиусы вписанной и вневписанной окружностей – r и R соответственно.

Пусть O,Q – центры вписанной, вневписанной окружностей.

Пусть M,F – точки касания вписанной окружности со сторонами BC,AB;   D,E, L – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон BC,AC и стороной AB соответсвенно.

Очевидно, MOFB,QDBL – квадраты со сторонами r и R соответственно.

По свойству отрезков касательных CD=CE и AL=AE. Замечаем, AL=3x-R.

Тогда 4x+R=5x+3x-R. Откуда R=2x.

Далее распишем площадь треугольника ABC двумя способами:

\frac{AB\cdot BC}{2}=p\cdot r;

\frac{3x\cdot 4x}{2}=\frac{3x+4x+5x}{2}\cdot r;

r=x.

Итак, R:r=2:1.

б) Найдем расстояние FL между точками касания окружностей стороны AB.

FL=BL-BF=R-r=2x-x=x.

По условию AC=15, в тоже время AC=5x, откуда x=3.

Итак, FL=3.

Ответ: а) 2:1; б) 3.

Печать страницы
комментария 2
  1. Вано

    А почему треугольник прямоугольный,а не произвольный?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      По теореме, обратной теореме Пифагора.
      25x^2=16x^2+9x^2

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

13 + 5 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif