Задание №16 Т/Р №183 А. Ларина

2017-02-12

 Смотрите также №13№14№15№17№18№19 Тренировочной работы №183 А. Ларина 

16. Окружность касается прямых AB и BC соответственно в точках D и E. Точка  A лежит между B и D, а тока C – между B и E. Точки A, D, E, C лежат на одной окружности.

a) Доказать, что треугольники ABC и DBE подобны.
б) Найти площадь ABC, если AC=8 и радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 1.

Решение:

a) По свойству отрезков касательных BE=BD. Тогда  \angle BED=\angle BDE.

Углы CEA,CDA – опираются на одну дугу CA окружности, а значит, равны между собой.

Если от равных углов BED, BDE “отрезать” равные части (CEA,CDA), то “остатки” равны, то есть \angle AED=\angle CDE.

А поскольку \angle AED=\angle ACD как опирающиеся на одну дугу AD, то и \angle ACD=\angle CDE, то есть прямые AC,ED параллельны, ведь углы ACD,CDE – накрест лежащие при прямых AC,ED и секущей CD.

Параллельность прямых AC,DB дает равенство, например, углов BCA,BED. Учитывая, что угол B – общий для треугольников ABC,DBE, получаем, что указанные треугольники подобны по двум углам.

Что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника ABC будем искать так:

S_{ABC}=p\cdot r,

где p –полупериметр, r –  радиус вписанной окружности.

Пусть центр вписанной окружности в треугольник ABC – точка Q, точки касания окружности со сторонами BC,AB,ACN,M и T соответственно.

Очевидно, TC=TA=4. По свойству отрезков касательных CN=CT, AT=AM и BN=BM.

Пусть BN=x.

Из треугольника BNQ:  tgB=\frac{1}{x}.

Из треугольника BTC:  tgB=\frac{4}{\sqrt{(4+x)^2-4^2}}.

Тогда

\frac{1}{x}=\frac{4}{\sqrt{(4+x)^2-4^2}};

\frac{1}{x^2}=\frac{16}{(4+x)^2-4^2};

16x^2=(4+x)^2-4^2;

15x^2=8x

откуда

x=\frac{8}{15}.

Итак,

S_{ABC}=p\cdot r=\frac{128}{15}.

Ответ: б) \frac{128}{15}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четыре × 3 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif