Задание №16 Т/Р №183 А. Ларина

Елена Репина 2017-02-09 2017-02-12

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №183 А. Ларина

16. Окружность касается прямых $AB$ и $BC$ соответственно в точках $D$ и $E$ . Точка $A$ лежит между $B$ и $D$ , а тока $C$ – между $B$ и $E$ . Точки $A$ , $D$ , $E$ , $C$ лежат на одной окружности.

a) Доказать, что треугольники $ABC$ и $DBE$ подобны.
б) Найти площадь $ABC$ , если $AC=8$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$ , равен $1$ .

Решение:

a) По свойству отрезков касательных $BE=BD.$ Тогда $\angle BED=\angle BDE.$

Углы $CEA,CDA$ – опираются на одну дугу $CA$ окружности, а значит, равны между собой.

Если от равных углов $BED, BDE$ “отрезать” равные части ( $CEA,CDA$ ), то “остатки” равны, то есть $\angle AED=\angle CDE.$

А поскольку $\angle AED=\angle ACD$ как опирающиеся на одну дугу $AD,$ то и $\angle ACD=\angle CDE,$ то есть прямые $AC,ED$ параллельны, ведь углы $ACD,CDE$ – накрест лежащие при прямых $AC,ED$ и секущей $CD.$

Параллельность прямых $AC,DB$ дает равенство, например, углов $BCA,BED.$ Учитывая, что угол $B$ – общий для треугольников $ABC,DBE,$ получаем, что указанные треугольники подобны по двум углам.