Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №183 А. Ларина
16. Окружность касается прямых и
соответственно в точках
и
. Точка
лежит между
и
, а тока
– между
и
. Точки
,
,
,
лежат на одной окружности.
a) Доказать, что треугольники и
подобны.
б) Найти площадь , если
и радиус окружности, вписанной в треугольник
, равен
.
Решение:
a) По свойству отрезков касательных Тогда
Углы – опираются на одну дугу
окружности, а значит, равны между собой.
Если от равных углов “отрезать” равные части (
), то “остатки” равны, то есть
А поскольку как опирающиеся на одну дугу
то и
то есть прямые
параллельны, ведь углы
– накрест лежащие при прямых
и секущей
Параллельность прямых дает равенство, например, углов
Учитывая, что угол
– общий для треугольников
получаем, что указанные треугольники подобны по двум углам.
Что и требовалось доказать.
б) Площадь треугольника будем искать так:
где –полупериметр,
– радиус вписанной окружности.
Пусть центр вписанной окружности в треугольник – точка
точки касания окружности со сторонами
–
и
соответственно.
Очевидно, По свойству отрезков касательных
,
и
Пусть
Из треугольника
Из треугольника
Тогда
откуда
Итак,
Ответ: б)
Добавить комментарий