Задание №16 Т/Р №183 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №183 А. Ларина 

16. Окружность касается прямых $AB$ и $BC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Точка  $A$ лежит между $B$ и $D$, а тока $C$ – между $B$ и $E$. Точки $A$, $D$, $E$, $C$ лежат на одной окружности.

a) Доказать, что треугольники $ABC$ и $DBE$ подобны.
б) Найти площадь $ABC$, если $AC=8$ и радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен $1$.

Решение:

a) По свойству отрезков касательных $BE=BD.$ Тогда  $\angle BED=\angle BDE.$

Углы $CEA,CDA$ – опираются на одну дугу $CA$ окружности, а значит, равны между собой.

Если от равных углов $BED, BDE$ “отрезать” равные части ($CEA,CDA$), то “остатки” равны, то есть $\angle AED=\angle CDE.$

А поскольку $\angle AED=\angle ACD$ как опирающиеся на одну дугу $AD,$ то и $\angle ACD=\angle CDE,$ то есть прямые $AC,ED$ параллельны, ведь углы $ACD,CDE$ – накрест лежащие при прямых $AC,ED$ и секущей $CD.$

Параллельность прямых $AC,DB$ дает равенство, например, углов $BCA,BED.$ Учитывая, что угол $B$ – общий для треугольников $ABC,DBE,$ получаем, что указанные треугольники подобны по двум углам.

Что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника $ABC$ будем искать так:

$S_{ABC}=p\cdot r,$

где $p$ –полупериметр, $r$ –  радиус вписанной окружности.

Пусть центр вписанной окружности в треугольник $ABC$ – точка $Q,$ точки касания окружности со сторонами $BC,AB,AC$ – $N,M$ и $T$ соответственно.

Очевидно, $TC=TA=4.$ По свойству отрезков касательных $CN=CT$, $AT=AM$ и $BN=BM.$

Пусть $BN=x.$

Из треугольника $BNQ:$  $\large tgB=\frac{1}{x}.$

Из треугольника $BTC:$  $\large tgB=\frac{4}{\sqrt{(4+x)^2-4^2}}.$

Тогда

$\large\frac{1}{x}=\frac{4}{\sqrt{(4+x)^2-4^2}};$

$\large\frac{1}{x^2}=\frac{16}{(4+x)^2-4^2};$

$16x^2=(4+x)^2-4^2;$

$15x^2=8x$

откуда

$x=\frac{8}{15}.$

Итак,

$S_{ABC}=p\cdot r=\frac{128}{15}.$

Ответ: б) $\frac{128}{15}.$