Задание №16 Т/Р №196 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №196 А. Ларина.

16. Дан квадрат $ABCD$. На сторонах $AB$ и $BC$ внешним и внутренним образом

соответственно построены равносторонние треугольники $ABK$ и $BCP$.

а) Докажите, что точка $P$ лежит на прямой $DK$.
б) Найдите площадь четырехугольника $PKBC$, если известно, что $AB=2$.

Решение:

a) Треугольник $BCP$ – равносторонний, $\angle CBP=60^{\circ}.$ Тогда $\angle PBA=30^{\circ}$.

Треугольник $BKA$ – равносторонний, $\angle KBA=60^{\circ}.$ Тогда $\angle PBK=90^{\circ}$.

При этом треугольник $BKP$ равнобедренный, поэтому $\angle BKP=\angle BPK=45^{\circ}.$

Треугольник $AKD$ также равнобедренный, $\angle KAD=150^{\circ},$ потому $\angle AKD=\angle ADK=15^{\circ}.$

Итак, $\angle BKP+\angle AKD=60^{\circ},$ но $\angle AKB=60^{\circ},$ то есть $K$ лежит на прямой $KD.$

б) $S_{PKBC}=S_{BCP}+S_{BKP}=\frac{2^2\sqrt3}{4}+\frac{2\cdot 2}{2}=\sqrt3+2.$

Ответ: б) $\sqrt3+2.$