Задание №16 Т/Р №202 А. Ларина

2017-09-14

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

16. В прямоугольнике ABCD на стороне BC отмечена точка K так, что BK=2CK.

а) Докажите, что BD делит площадь треугольника AKC в отношении 3:7.

б) Пусть M – точка пересечения AK и BD, P – точка пересечения DK и AC. Найдите длину отрезка MP, если AB=8,BC=6.

Решение:

a) Треугольники BMK,DMA подобны по двум углам, коэффициент подобия – k=\frac{BK}{AD}=\frac{2}{3}.

Тогда \frac{S_{BMK}}{S_{DMA}}=\frac{4}{9}. Пуcть S_{BMK}=4m,S_{DMA}=9m.

Пусть O  – точка пересечения диагоналей.

Обозначим S_{AMO} за n.

Пусть BM=2k,DM=3k.

Заметим, что MO=\frac{BD}{2}-BM=2,5k-2k=0,5k и OD=2,5k. То есть MO:OD=1:5.

Но тогда S_{AMO}:S_{ADO}=1:5, откуда \frac{n}{9m-n}=\frac{1}{5}. Итак, m=\frac{2n}{3}.

А поскольку S_{MOCK}=S_{BCO}-S_{BKM}=S_{AOD}-S_{BKM}=(9m-n)-4m=5m-n, то

искомое отношение  S_{AMO}:S_{MOCK} есть:

\frac{n}{5m-n}=\frac{n}{5\cdot \frac{2n}{3}-n}=\frac{3}{7}.

б) Пусть \angle MOP=\alpha. При этом \alpha =180^{\circ}-2\angle CBD.

cos\alpha =cos(180^{\circ}-2\angle CBD)=-cos(2\angle CBD)=1-2cos^2\angle CBD=

=1-2\cdot (\frac{BC}{BD})^2=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}.

MO=BO-BM=\frac{BD}{2}-\frac{2BD}{5}=\frac{BD}{10}=1;

OP=OC-PC=\frac{AC}{2}-\frac{AC}{4}=\frac{AC}{4}=\frac{5}{2}.

Из треугольника MOP по теореме косинусов:

MP^2=MO^2+PO^2-2MO\cdot PO\cdot cos\alpha =1+\frac{25}{4}-2\cdot 1\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{25}=\frac{3\sqrt{65}}{10}.

Ответ: б) \frac{3\sqrt{65}}{10}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × один =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif