Главная › 16 (С5) Планиметр. задачи › Задание №16 Т/Р №202 А. Ларина

14 Сен 2017

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

Задание №16 Т/Р №202 А. Ларина

Елена Репина 2017-09-14 2017-09-14

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №202 А. Ларина.

16. В прямоугольнике $ABCD$ на стороне $BC$ отмечена точка $K$ так, что $BK=2CK$ .

а) Докажите, что $BD$ делит площадь треугольника $AKC$ в отношении $3:7$ .

б) Пусть $M$ – точка пересечения $AK$ и $BD$ , $P$ – точка пересечения $DK$ и $AC$ . Найдите длину отрезка $MP,$ если $AB=8,BC=6.$

Решение:

a) Треугольники $BMK,DMA$ подобны по двум углам, коэффициент подобия – $k=\frac{BK}{AD}=\frac{2}{3}.$

Тогда $\frac{S_{BMK}}{S_{DMA}}=\frac{4}{9}.$ Пуcть $S_{BMK}=4m,S_{DMA}=9m.$

Пусть $O$ – точка пересечения диагоналей.

Обозначим $S_{AMO}$ за $n.$

Пусть $BM=2k,DM=3k.$

Заметим, что $MO=\frac{BD}{2}-BM=2,5k-2k=0,5k$ и $OD=2,5k.$ То есть $MO:OD=1:5.$

Но тогда $S_{AMO}:S_{ADO}=1:5,$ откуда $\frac{n}{9m-n}=\frac{1}{5}.$ Итак, $m=\frac{2n}{3}.$

А поскольку $S_{MOCK}=S_{BCO}-S_{BKM}=S_{AOD}-S_{BKM}=(9m-n)-4m=5m-n,$ то

искомое отношение $S_{AMO}:S_{MOCK}$ есть:

$\frac{n}{5m-n}=\frac{n}{5\cdot \frac{2n}{3}-n}=\frac{3}{7}.$

б) Пусть $\angle MOP=\alpha.$ При этом $\alpha =180^{\circ}-2\angle CBD.$

$cos\alpha =cos(180^{\circ}-2\angle CBD)=-cos(2\angle CBD)=1-2cos^2\angle CBD=$

$=1-2\cdot (\frac{BC}{BD})^2=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}.$

$MO=BO-BM=\frac{BD}{2}-\frac{2BD}{5}=\frac{BD}{10}=1;$

$OP=OC-PC=\frac{AC}{2}-\frac{AC}{4}=\frac{AC}{4}=\frac{5}{2}.$

Из треугольника $MOP$ по теореме косинусов:

$MP^2=MO^2+PO^2-2MO\cdot PO\cdot cos\alpha =1+\frac{25}{4}-2\cdot 1\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{25}=\frac{3\sqrt{65}}{10}.$

Ответ: б) $\frac{3\sqrt{65}}{10}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы