Задание №16 Т/Р №205 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

16. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Окружности, построенные на

боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках $P$ и $K$.

а) Докажите, что прямые $PK$ и $BC$ перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка $PK$, если известно, что $AD=20,BC=6,AB=16,DC=14.$

Решение:

а) Пусть $O_1,O_2$ – середины $AB,CD$ соответственно.

Заметим, $O_1O_2$ – средняя линия трапеции ($O_1O_2\parallel BC$).

Докажем, что $O_1O_2\perp PK,$ это и будет означать, что  $PK\perp BC.$

Треугольники $O_1PO_2,O_1KO_2$ равны по третьему признаку, следовательно

$\angle PO_1O_2=\angle KO_1O_2$.

Так как треугольник $O_1PK$ равнобедренный, то биссектриса $O_1M$ ($M$ –  точка пересечения $PK$ и $O_1O_2$) – и высота. Таким образом, $O_1O_2\perp PK.$

б)

$O_1O_2=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6+20}{2}=13.$

$p_{O_1PO_2}=\frac{O_1P+PO_2+O_1O_2}{2}=\frac{8+7+13}{2}=14.$

С одной стороны,

$S_{O_1PO_2}=\sqrt{p(p-O_1P)(p-PO_2)(p-O_1O_2)}=\sqrt{14\cdot 6\cdot 7\cdot 1}=14\sqrt3.$

С другой стороны,

$S_{O_1PO_2}=\frac{O_1O_2\cdot PM}{2}.$

Поэтому

$14\sqrt3=\frac{13\cdot PM}{2};$

$PM=\frac{28\sqrt3}{13}.$

Наконец, $PK=2PM=\frac{56\sqrt3}{13}.$

Ответ: б) $\frac{56\sqrt3}{13}$.