Задание №16 Т/Р №205 А. Ларина

2017-10-04

Смотрите также №13; №14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

16. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружности, построенные на

боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках P и K.

а) Докажите, что прямые PK и BC перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AD=20,BC=6,AB=16,DC=14.

Решение:

а) Пусть O_1,O_2 – середины AB,CD соответственно.

Заметим, O_1O_2 – средняя линия трапеции (O_1O_2\parallel BC).

Докажем, что O_1O_2\perp PK, это и будет означать, что  PK\perp BC.

Треугольники O_1PO_2,O_1KO_2 равны по третьему признаку, следовательно

\angle PO_1O_2=\angle KO_1O_2.

Так как треугольник O_1PK равнобедренный, то биссектриса O_1M (M –  точка пересечения PK и O_1O_2) – и высота. Таким образом, O_1O_2\perp PK.

б)

O_1O_2=\frac{BC+AD}{2}=\frac{6+20}{2}=13.

p_{O_1PO_2}=\frac{O_1P+PO_2+O_1O_2}{2}=\frac{8+7+13}{2}=14.

С одной стороны,

S_{O_1PO_2}=\sqrt{p(p-O_1P)(p-PO_2)(p-O_1O_2)}=\sqrt{14\cdot 6\cdot 7\cdot 1}=14\sqrt3.

С другой стороны,

S_{O_1PO_2}=\frac{O_1O_2\cdot PM}{2}.

Поэтому

14\sqrt3=\frac{13\cdot PM}{2};

PM=\frac{28\sqrt3}{13}.

Наконец, PK=2PM=\frac{56\sqrt3}{13}.

Ответ: б) \frac{56\sqrt3}{13}.

 

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

10 + 16 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif