Задание №16 Т/Р №207 А. Ларина

2017-10-18

Смотрите также №13№14№15№17№18; №19 Тренировочной работы №207 А. Ларина.

16. В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AD. Отрезок BE пересекает диагональ AC в точке P. AB=PD.

а) Докажите, что отрезок BE перпендикулярен диагонали AC.

б) Найдите площадь параллелограмма, если AB=2 см, BC=3 см.

Решение:

a) Пусть H – середина PC. Так как треугольник PCD равнобедренный (PD=AB по условию и DC=AB по свойству параллелограмма), то DH\perp AC.

Треугольники BCP,EAP подобны по двум углам. И коэффициент их подобия \frac{BC}{AE} равен 2. То есть,  если AP=x, то PC=2x. При этом PH=CH=x.

Замечаем, что треугольники APE,AHD подобны по двум пропорциональным сторонам AP,AH и AE,AD и углу между ними A.

Но тогда, например, \angle APE=\angle AHD, откуда PE\parallel HD. Стало быть, раз DH\perp AC, то EP\perp AC.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть PE=y, тогда в силу подобия треугольников APE,CPB с коэффициентом 2 (о чем говорили в пункте а) BP=2y.

Применим теорему Пифагора к треугольникам ABP,AEP:

AB^2-BP^2=AE^2-PE^2;

4-4y^2=\frac{9}{4}-y^2;

y=\frac{\sqrt{21}}{6}.

Откуда AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{16-\frac{21}{36}}=\frac{5}{3}.

Далее,

S_{ABC}=\frac{AC\cdot BP}{2}=\frac{(3\cdot \frac{5}{3})\cdot (2\cdot \frac{\sqrt{21}}{6})}{2}=\frac{\sqrt{35}}{2}.

Откуда

S_{ABCD}=2\cdot S_{ABC}=\sqrt{35}.

Ответ: б) \sqrt{35}.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

шестнадцать − шестнадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif