Задание №16 Т/Р №212 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №212 А. Ларина.

16. В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $AC$.
а) Докажите, что длина отрезка $BM$ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон $AB$ и $BC$.
б) Окружность проходит через точки $B$, $C$, $M$. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой $AB$, если известно, что $AB=5,BC=3,BM=2.$

Решение:

а) Отложим на луче $BM$ от точки $M$ отрезок $MB_1,$ равный $BM.$

$ABCB_1$ – параллелограмм по признаку параллелограмма.

Согласно неравенству треугольника (для $\Delta ABB_1$):

$BB_1<AB+AB_1.$

Откуда

$2BM<AB+BC.$

Итак,

$BM<\frac{AB+BC}{2}.$

Согласно неравенству треугольника (для $\Delta ABB_1$):

$AB<BB_1+AB_1;$

$AB<2BM+BC;$

$BM>\frac{AB-BC}{2}.$

б) Замечаем, что треугольник $BB_1C$ – прямоугольный ($\angle B=90^{\circ}$), так как $B_1C^2=BC^2+BB_1^2.$

Тогда $MC$ – диаметр окружности, описанной около треугольника $MBC.$

$MC^2=MB^2+BC^2=13.$

Хорда окружности, лежащая на прямой $AB$ – это отрезок $BT.$

Применим свойство секущих:

$AB\cdot AT=AM\cdot AC;$

$5(5+BT)=2MC^2;$

$25+5BT=2\cdot 13;$

$BT=0,2.$

Ответ: б) $0,2.$