Задание №16 Т/Р №213 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

16. Точка $O$ – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$. На луче $AO$ отмечена точка $M$ так, что $\angle BAC+\angle AMC=90^{\circ}.$

а) Докажите, что существует точка $P$, одинаково удаленная от точек $B,O,C,M.$
б) Найдите расстояние от точки $P$ до точки $M$, если известно, что $\angle BAC=15^{\circ}$ и $BC=15.$

Решение:

a) Существует точка $P$, одинаково удаленная от точек $B,O,C,M,$  – означает, что $OBMC$

 – четырехугольник, около которого можно описать окружность (центр которой – точка $P$).

Пусть $\angle BAC=\alpha.$ Тогда согласно условию $\angle AMC=90^{\circ}-\alpha.$

$\angle BOC$ – центральный угол, опирающийся на туже дугу, на которую опирается вписанный угол $BAC,$ поэтому $\angle BOC=2\alpha.$

Треугольник $BOC$ – равнобедренный. $\angle OBC=\angle OCB=90^{\circ}-\alpha.$

Существует окружность, описанная около треугольника $OMC.$ Вписанный в нее угол $OMC$ опирается на дугу $OC.$ Угол $OBC$ также опирается на дугу $OC$ и равен углу $OMC$, что означает, что и $B$ лежит на окружности, описанной около треугольника $OMC.$ То есть все точки $O,B,M$ и $C$ лежат на одной окружности.

б) По теореме синусов для треугольника $OBC$

$\frac{BC}{sin BOC}=2R$ (где $R=PM$ – радиус окружности, описанной около $OBMC$)

$\frac{15}{sin30^{\circ}}=2R;$

$R=15.$

Ответ: б) $15.$