Задание №16 Т/Р №213 А. Ларина

2017-11-28

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №213 А. Ларина.

16. Точка O – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На луче AO отмечена точка M так, что \angle BAC+\angle AMC=90^{\circ}.

а) Докажите, что существует точка P, одинаково удаленная от точек B,O,C,M.
б) Найдите расстояние от точки P до точки M, если известно, что \angle BAC=15^{\circ} и BC=15.

Решение:

a) Существует точка P, одинаково удаленная от точек B,O,C,M,  – означает, что OBMC

 – четырехугольник, около которого можно описать окружность (центр которой – точка P).

Пусть \angle BAC=\alpha. Тогда согласно условию \angle AMC=90^{\circ}-\alpha.

\angle BOC – центральный угол, опирающийся на туже дугу, на которую опирается вписанный угол BAC, поэтому \angle BOC=2\alpha.

Треугольник BOC – равнобедренный. \angle OBC=\angle OCB=90^{\circ}-\alpha.

Существует окружность, описанная около треугольника OMC. Вписанный в нее угол OMC опирается на дугу OC. Угол OBC также опирается на дугу OC и равен углу OMC, что означает, что и B лежит на окружности, описанной около треугольника OMC. То есть все точки O,B,M и C лежат на одной окружности.

б) По теореме синусов для треугольника OBC

\frac{BC}{sin BOC}=2R (где R=PM – радиус окружности, описанной около OBMC)

\frac{15}{sin30^{\circ}}=2R;

R=15.

Ответ: б) 15.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

девятнадцать + шесть =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif