Задание №16 Т/Р №223 А. Ларина

2018-02-07

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

16. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Радиус AO перпендикулярен радиусу OB, а радиус OC перпендикулярен радиусу OD.

а) Докажите, что BC \parallel AD.

б) Найдите площадь треугольника AOB, если длина перпендикуляра, опущенного из точки C на AD, равна 9, а длина отрезка BC в два раза меньше длины отрезка AD.

Решение:

a) Пусть \angle OAB=\alpha.

Треугольник AOB – прямоугольный, равнобедренный. Значит, \angle BAO=\angle OBA=45^{\circ}.

Треугольник AOD – равнобедренный, \angle ODA=\alpha,\angle AOD=180^{\circ}-2\alpha.

\angle BOC=360^{\circ}-2\cdot 90^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)=2\alpha.

Треугольник BOC – равнобедренный, \angle CBO=\angle BCO=90^{\circ}-\alpha.

Наконец, \angle ABC+\angle BAD=(45^{\circ}+90^{\circ}-\alpha)+(45^{\circ}+\alpha)=180^{\circ}, углы ABC,BAD – внутренние односторонние при прямых BC,AD и секущей AB. По признаку параллельности прямых BC\parallel AD.

б) Раз трапеция вписана в окружность, – она равнобедренная. Пусть H_1,H_2 – середины оснований BC,AD. Тогда H_1H_2\perp BC и H_1H_2 – расстояние от точки C до AD.

Пусть BH_1=x, тогда AH_2=2x. Пусть OH_2=y,  тогда OH_1=9-y.

Из треугольника AOH_2:

tg\alpha=\frac{y}{2x}.

Из треугольника BOH_1:

tg\alpha=\frac{x}{9-y}.

Тогда

\frac{y}{2x}=\frac{x}{9-y};

2x^2=9y-y^2  (1)

Из треугольника AOH_2:

AO^2=4x^2+y^2.

Из треугольника BOH_1:

BO^2=x^2+(9-y)^2.

Тогда

4x^2+y^2=x^2+(9-y)^2;

x^2=27-6y  (2)

Подставим (2) в (1):

54-12y=9y-y^2;

y^2-21y+54=0;

y=\frac{21\pm 15}{2};

 y=3

(y=18 не подходит по условию).

Откуда x=3, тогда AO=\sqrt{4x^2+y^2}=\sqrt{45}.

Наконец,

S_{AOB}=\frac{AO^2}{2}=\frac{45}{2}=22,5.

Ответ: 22,5.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

десять − три =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif