Задание №16 Т/Р №223 А. Ларина

Елена Репина 2018-02-08 2018-02-07

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18; №19 Тренировочной работы №223 А. Ларина.

16. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Радиус $AO$ перпендикулярен радиусу $OB,$ а радиус $OC$ перпендикулярен радиусу $OD.$

а) Докажите, что $BC \parallel AD.$

б) Найдите площадь треугольника $AOB,$ если длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на $AD,$ равна $9,$ а длина отрезка $BC$ в два раза меньше длины отрезка $AD.$

Решение:

a) Пусть $\angle OAB=\alpha.$

Треугольник $AOB$ – прямоугольный, равнобедренный. Значит, $\angle BAO=\angle OBA=45^{\circ}.$

Треугольник $AOD$ – равнобедренный, $\angle ODA=\alpha,\angle AOD=180^{\circ}-2\alpha.$

$\angle BOC=360^{\circ}-2\cdot 90^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)=2\alpha.$

Треугольник $BOC$ – равнобедренный, $\angle CBO=\angle BCO=90^{\circ}-\alpha.$

Наконец, $\angle ABC+\angle BAD=(45^{\circ}+90^{\circ}-\alpha)+(45^{\circ}+\alpha)=180^{\circ},$ углы $ABC,BAD$ – внутренние односторонние при прямых $BC,AD$ и секущей $AB.$ По признаку параллельности прямых $BC\parallel AD.$

б) Раз трапеция вписана в окружность, – она равнобедренная. Пусть $H_1,H_2$ – середины оснований $BC,AD.$ Тогда $H_1H_2\perp BC$ и $H_1H_2$ – расстояние от точки $C$ до $AD.$