Задание №16 Т/Р №224 А. Ларина

2018-02-14

Смотрите также №13; №14; №15№17№18; №19 Тренировочной работы №224 А. Ларина.

16. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен \frac{\sqrt{15}}{3}. Окружность радиуса \frac{5\sqrt5}{3\sqrt3} касается вписанной в треугольник ABC окружности в точке T, а также касается лучей, образующих угол ACB. Окружности касаются прямой AC в точках K и M.

а) Докажите, что треугольник KTM прямоугольный.

б) Найдите тангенс угла ABC, если площадь треугольника ABC равна 3\sqrt{15,} а наибольшей из его сторон является сторона AC.

Решение:

a) Пусть O,Q – центры малой и большой окружностей соответственно.

K – точка касания большей окружности с прямой AC.

Построим OE\parallel AC,E\in KQ.

Из треугольника OQE:

OE^2=(\frac{3\sqrt{15}}{9}+\frac{5\sqrt{15}}{9})^2-(\frac{5\sqrt{15}}{9}-\frac{3\sqrt{15}}{9})^2;

OE=\frac{10}{3}.

cos\angle OQK=\frac{QE}{OQ}=\frac{\frac{2\sqrt{15}}{9}}{\frac{8\sqrt{15}}{9}}=\frac{1}{4}.

Из треугольника KTQ по теореме косинусов:

KT^2=2KQ^2-2KQ^2cos\angle OQK;

KT^2=\frac{125}{18}.

Из треугольника MOT по теореме косинусов:

MT^2=2MO^2+2MO^2cos\angle OQK;

MT^2=\frac{75}{18}.

Для треугольника KMT выполняется теорема, обратная теореме Пифагора.

Действительно, (\frac{10}{3})^2=\frac{125}{18}+\frac{75}{18}. Стало быть, треугольник KMT – прямоугольный.

б) \angle MCO=\angle EOQ.

Так как sin\angle EOQ=\frac{EQ}{OQ}=\frac{1}{4}, то tg\angle MCO=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{15}}.

Из треугольника MOC:

tg \angle MCO=\frac{MO}{MC};

\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{3}}{MC};

MC=5.

По условию S_{ABC}=3\sqrt{15}, поэтому 3\sqrt{15}=p\cdot \frac{\sqrt{15}}{3}, где p=\frac{AB+BC+AC}{2}. То есть периметр треугольника ABC ранен 18.

Пусть  L, P – точки касания малой окружности со сторонами AB,BC соответственно. Пусть BL=x. Так как MC=CP,PB=BL,AM=AL, то AM=AL=(18-(10+2x)):2=4-x. Тогда AB=4.

Пусть CH – высота треугольника ABC (точка H может лежать как на стороне AB, так и на ее продолжении). Тогда 3\sqrt{15}=\frac{CH\cdot AB}{2}, откуда CH=\frac{3\sqrt{15}}{2}.

Выразим CH^2 по теореме Пифагора из треугольников BCH,ACH:

(5+x)^2-BH^2=(9-x)^2-(4\pm BH)^2;

BH=\frac{10\pm 7x}{2}.

По теореме Пифагора из треугольника BCH:

(5+x)^2=(\frac{10\pm 7x}{2})^2+(\frac{3\sqrt{15}}{2})^2;

9x^2-8x-1=0 или 9x^2-8x+55=0;

x=1 и H – на продолжении стороны AB.

Итак, из треугольника BCH:

tgCBH=\frac{CH}{BH}=\frac{\frac{3\sqrt{15}}{2}}{\frac{10-7x}{2}}=\frac{\frac{3\sqrt{15}}{2}}{\frac{3}{2}}=\sqrt{15}.

Наконец, tgABC=-tgCBH=-\sqrt{15}.

Ответ: б) -\sqrt{15}.

Печать страницы
комментария 2
  1. Ирина

    Приведу доказательство моих учеников. Дополнительное построение-общая касательная ТТ1. КТ1=ТТ1=МТ1 по свойству касательных. ТТ1 медиана треугольника КТМ. Треугольник КТМ прямоугольный. Можно доказать используя равенство углов при основании равнобедренного треугольника и сумму углов треугольника.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ирина, спасибо!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

восемнадцать − 17 =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif