Задание №16 Т/Р №161 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

16. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $BP.$

а) Докажите, что углы $ABP$ и $AKP$ равны.

б) Найдите длину отрезка $PK$, если известно, что $AB=5,BC=6,AC=4.$

Решение:

а) Поскольку прямоугольные треугольники $ABP,ABK$ имеют общую гипотенузу, то все четыре точки $A,B,K$ и $P$ лежат на одной окружности (с центром в середине гипотенузы $AB$).

Но тогда углы $ABP,AKP$ – вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу ($AP$). А значит, они равны.

б) С одной стороны, по формуле Герона,

$S_{ABC}=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{7}{2}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}.$

С другой стороны,

$S_{ABC}=\frac{BP\cdot AC}{2},$

$S_{ABC}=\frac{AK\cdot BC}{2},$

поэтому

$BP=\frac{2\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{8};$

$AK=\frac{2\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{6}=\frac{5\sqrt{7}}{4}.$

Тогда

$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{36-\frac{225\cdot 7}{64}}=\frac{27}{8},$

$KC=\sqrt{AC^2-AK^2}=\sqrt{16-\frac{25\cdot 7}{16}}=\frac{9}{4}.$

Наконец, по теореме косинусов для треугольника $PKC$, с учетом того, что $cosC=\frac{\frac{27}{8}}{6}=\frac{9}{16},$ имеем:

$PK^2=(\frac{27}{8})^2+(\frac{9}{4})^2-2\cdot \frac{27}{8}\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{9}{16};$

$PK^2=\frac{2025}{256};$

$PK=\frac{45}{16}.$

Ответ: б) $\frac{45}{16}.$