Главная › 16 (С5) Планиметр. задачи › Задание №16 Т/Р №161 А. Ларина

08 Сен 2016

Категория: 16 (С5) Планиметр. задачиТ/P A. Ларина

Задание №16 Т/Р №161 А. Ларина

Елена Репина 2016-09-08 2016-10-13

Смотрите также №13; №14; №15; №17; №18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

16. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $BP.$

а) Докажите, что углы $ABP$ и $AKP$ равны.

б) Найдите длину отрезка $PK$ , если известно, что $AB=5,BC=6,AC=4.$

Решение:

а) Поскольку прямоугольные треугольники $ABP,ABK$ имеют общую гипотенузу, то все четыре точки $A,B,K$ и $P$ лежат на одной окружности (с центром в середине гипотенузы $AB$ ).

Снимок экрана 2016-09-04 в 11.58.10

Но тогда углы $ABP,AKP$ – вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу ( $AP$ ). А значит, они равны.

б) С одной стороны, по формуле Герона,

$S_{ABC}=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{7}{2}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}.$

С другой стороны,

$S_{ABC}=\frac{BP\cdot AC}{2},$

$S_{ABC}=\frac{AK\cdot BC}{2},$

поэтому

$BP=\frac{2\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{8};$

$AK=\frac{2\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{6}=\frac{5\sqrt{7}}{4}.$

Снимок экрана 2016-09-04 в 12.05.49

Тогда

$PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{36-\frac{225\cdot 7}{64}}=\frac{27}{8},$

$KC=\sqrt{AC^2-AK^2}=\sqrt{16-\frac{25\cdot 7}{16}}=\frac{9}{4}.$

Наконец, по теореме косинусов для треугольника $PKC$ , с учетом того, что $cosC=\frac{\frac{27}{8}}{6}=\frac{9}{16},$ имеем:

$PK^2=(\frac{27}{8})^2+(\frac{9}{4})^2-2\cdot \frac{27}{8}\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{9}{16};$

$PK^2=\frac{2025}{256};$

$PK=\frac{45}{16}.$

Ответ: б) $\frac{45}{16}.$

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№12 №14 №15 №17
Рубрики
- 01 Геометрия (13)
- 02 Стереометрия (9)
- 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
- 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Вычисления (5)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 «Прикладные» задачи (5)
- 09 Текстовые задачи (7)
- 10 Графики функций (7)
- 11 Исследование функции (2)
- 12 (С1) Уравнения (78)
- 13 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 14 (С3) Неравенства (89)
- 15 (С4) Практич. задачи (71)
- 16 (С5) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С6) Параметры* (79)
- 18 (С7) Числа, их свойства (38)
- A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
- A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (40)
- Переменка (5)
- Планиметрия (60)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (92)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (443)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (80)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы