Задание №16 Т/Р №161 А. Ларина

2016-10-13

Смотрите также №13№14№15№17№18 Тренировочной работы №161 А. Ларина.

16. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.

а) Докажите, что углы ABP и AKP равны.

б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB=5,BC=6,AC=4.

Решение:

а) Поскольку прямоугольные треугольники ABP,ABK имеют общую гипотенузу, то все четыре точки A,B,K и P лежат на одной окружности (с центром в середине гипотенузы AB).

Но тогда углы ABP,AKP – вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу (AP). А значит, они равны.

б) С одной стороны, по формуле Герона,

S_{ABC}=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{7}{2}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}.

С другой стороны,

S_{ABC}=\frac{BP\cdot AC}{2},

S_{ABC}=\frac{AK\cdot BC}{2},

поэтому

BP=\frac{2\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{8};

AK=\frac{2\cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{6}=\frac{5\sqrt{7}}{4}.

Тогда

PC=\sqrt{BC^2-BP^2}=\sqrt{36-\frac{225\cdot 7}{64}}=\frac{27}{8},

KC=\sqrt{AC^2-AK^2}=\sqrt{16-\frac{25\cdot 7}{16}}=\frac{9}{4}.

Наконец, по теореме косинусов для треугольника PKC, с учетом того, что cosC=\frac{\frac{27}{8}}{6}=\frac{9}{16}, имеем:

PK^2=(\frac{27}{8})^2+(\frac{9}{4})^2-2\cdot \frac{27}{8}\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{9}{16};

PK^2=\frac{2025}{256};

PK=\frac{45}{16}.

Ответ: б) \frac{45}{16}.

 

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif