Задание №16 Т/Р А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15, №17, №18, №19, №20.

Ребро куба равно 12. Точка – середина ребра , точка  лежит на ребре так, что . Плоскость, проходящая через точки , и пересекает ребро в точке .
а) Докажите, что.
б) Найдите угол между плоскостями и .

Решение:

a) Пусть пересекается с в точке .

пересекается с в точке

Треугольники    подобны,

Тогда

Треугольники    подобны,  Но тогда и .

Что и требовалось доказать.

б) – прямая пересечения плоскостей

Пусть . По теореме о трех перпендикулярах  и . То есть – угол между плоскостями 

Треугольники    подобны, Тогда

Итак, в треугольнике катеты равны, что означает, что угол равен

Ответ: б) 45.