Задание №16 Т/Р А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Смотрите также №15№17№18№19№20.

Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно 12. Точка P – середина ребра CB, точка K лежит на ребре CD так, что KD:KC=1:2. Плоскость, проходящая через точки P, K и A_1 пересекает ребро DD_1 в точке M.
а) Докажите, чтоDM:D_1M=1:4.
б) Найдите угол между плоскостями PKA_1 и ABC.

Решение:

a) Пусть PK пересекается с AD в точке L.

LA_1 пересекается с DD_1 в точке M.

Треугольники PCK,   LDK  подобны, k=\frac{CK}{DK}=2.

Тогда DL=\frac{PC}{2}=3.

Треугольники LDM,   A_1D_1M  подобны, k=\frac{LD}{A_1D_1}=\frac{1}{4}.  Но тогда и DM:D_1M=1:4.

Что и требовалось доказать.

б) PK – прямая пересечения плоскостей PKA_1, ABC.

Пусть AH\perp PK. По теореме о трех перпендикулярах  и A_1H\perp PK. То есть \alpha=\angle AHA_1 – угол между плоскостями PKA_1, ABC.

Треугольники AHL,  KDL  подобны, k=\frac{AL}{KL}=\frac{15}{5}=3. Тогда AH=3KD=12.

Итак, в треугольнике AHA_1 катеты AH, AA_1 равны, что означает, что угол \alpha равен 45^{\circ}.

Ответ: б) 45.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif