Задание 17 ЕГЭ 2023, резерв

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых

$\begin{cases}x^2+x+|x^2-x-2|=y^2+y+|y^2-y-2|,\\x+y=a\end{cases}$

система уравнений имеет более двух решений.

Решение:

Рассмотрим первую строку системы.

Нули первого модуля: $x=2,x=-1,$ нули второго модуля: $y=2,y=-1.$ Нули модулей задают границы зон, в каждой из 9 образовавшихся зон свое распределение знаков подмодульных выражений. Зоны с одинаковыми знаками выделены одним цветом (см. рис.). Знаки (+,-) красного цвета относятся к первому модулю, зеленого — ко второму.

Желтая зона «++»:

$x^2+x+x^2-x-2=y^2+y+y^2-y-2;$

$x^2=y^2;$

$y=\pm x.$

Голубая зона «+-»:

$x^2+x+x^2-x-2=y^2+y-y^2+y+2;$

$y=x^2-2.$

Сиреневая зона «-+»:

$x^2+x-x^2+x+2=y^2+y+y^2-y-2;$

$x=y^2-2.$

Белая зона «- -»:

$x^2+x-x^2+x+2=y^2+y-y^2+y+2;$

$y= x.$

Множество точек красного цвета (см. рис.) задают первую строку системы.

Вторая строка системы – семейство параллельных прямых (под углом 135 градусов к оси (ох)).

Заметим, касание $y=-x+a$ и $y=x^2-2,$ как несложно проверить, происходит в точке $(-0,5;-1,75).$ Для $y=-x+a$ и $x=y^2-2$ – в точке $(-1,75;-0,5).$ То есть в точках вне зон существования кусков парабол.
Становится видно, что исходная система имеет более двух решений, если $a\in (-2;0].$

Ответ: $(-2;0].$