Задание №17 (С3) Т/Р №93 А. Ларина

Смотрите также №15,  №16, №18, №19, №20

Решите неравенство:

$\frac{log_{2^{x+3}}4}{log_{2^{x+3}}(-4x)}\leq \frac{1}{log_2(log_{\frac{1}{2}}2^x)}.$

Решение:

Исходное неравенство равносильно следующей системе:

$\begin{cases}log_{(-4x)}4\leq \frac{1}{log_2(-x)},\\x\neq -3;&\end{cases}$

И далее

$\begin{cases}\frac{1}{log_4(-4x)}\leq \frac{1}{log_2(-x)},\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{2}{log_24+log_2(-x)}\leq \frac{1}{log_2(-x)},\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{2}{2+log_2(-x)}\leq \frac{1}{log_2(-x)},\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{2log_2(-x)-2-log_2(-x)}{(2+log_2(-x))log_2(-x)}\leq 0,\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\frac{log_2(-x)-2}{(log_2(-x)+2)log_2(-x)}\leq 0,\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}log_2(-x)<-2,\\0<log_2(-x)\leq 2;\end{array}\right.\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}log_2(-x)<log_2\frac{1}{4},\\log_21<log_2(-x)\leq log_24;\end{array}\right.\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}0<-x<\frac{1}{4},\\1<-x\leq 4;\end{array}\right.\\x\neq -3;&\end{cases}$

$\begin{cases}\left[\begin{array}{rcl}-\frac{1}{4}<x<0,\\-4\leq x<-1;\end{array}\right.\\x\neq -3;&\end{cases}$

$x\in [-4;-3)\cup (-3;-1)\cup (-\frac{1}{4};0).$

Ответ: $[-4;-3)\cup (-3;-1)\cup (-\frac{1}{4};0).$