Главная › 14 (С3) Неравенства › Задание №17 (С3) Т/Р №94 А. Ларина

04 Дек 2014

Категория: 14 (С3) НеравенстваЛогарифмыМетод рационализацииТ/P A. Ларина

Задание №17 (С3) Т/Р №94 А. Ларина

Елена Репина 2014-12-04 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15 , №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство:

$\frac{log_5(x^2-4x-11)^2-log_{11}(x^2-4x-11)^3}{2-5x-3x^2}\geq 0.$

Решение:

a) Отдельно рассмотрим случай: $x^2-4x-11=1.$

В этом случае $x=-2$ или $x=6$ , но только $x=6$ удовлетворяет неравенству.

б) Далее рассматриваем $x^2-4x-11\neq 1.$

Для краткости, временно, обозначим $x^2-4x-11$ за $m$ и поработаем с разностью $log_5(x^2-4x-11)^2-log_{11}(x^2-4x-11)^3:$

$log_5m^2-log_{11}m^3=2log_5m-3log_{11}m=\frac{2}{log_m5}-\frac{3}{log_m11}=\frac{2log_m11-3log_m5}{log_m5\cdot log_m11}=$

$=\frac{log_m121-log_m125}{log_m5\cdot log_m11}=\frac{log_m\frac{121}{125}}{log_m5\cdot log_m11}=\frac{log_5\frac{121}{125}}{log_m11}.$

Так как $log_5\frac{121}{125}<log_51$ , то $log_5\frac{121}{125}<0$ , то есть знак разности $log_5m^2-log_{11}m^3$ – есть знак $-log_m11.$

Итак, в случае $x\neq 6$ исходное неравенство равносильно следующему:

$\frac{-\log_{(x^2-4x-11)}11}{2-5x-3x^2}\geq 0.$

$log_{(x^2-4x-11)}11\cdot (3x-1)(x+2)\geq 0,$ $x\neq \frac{1}{3}, x\neq -2;$

Знак $log_{(x^2-4x-11)}11$ , согласно методу рационализации, есть знак

$(x^2-4x-11-1)(11-1)$ на $x^2-4x-11>0$ .

Итак, перед нами система:

$\begin{cases} (x^2-4x-12)(3x-1)(x+2)\geq 0,& &x^2-4x-11>0,& &x\neq \frac{1}{3},& &x\neq -2;& \end{cases}$

$\begin{cases} (x-6)(3x-1)(x+2)^2\geq 0,& &(x-(2-\sqrt{15}))(x-(2+\sqrt{15}))>0,& &x\neq \frac{1}{3},& &x\neq -2;& \end{cases}$

iuyh

Учитывая (а) и (б), имеем:

$x\in (-\infty;-2)\cup (-2;2-\sqrt{15})\cup [6;+\infty).$

Ответ: $(-\infty;-2)\cup (-2;2-\sqrt{15})\cup [6;+\infty).$

Автор: egeMax | комментария 2

комментария 2