Задание №17 (С3) Т/Р №94 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15, №16№18№19№20.

Решите неравенство:

\frac{log_5(x^2-4x-11)^2-log_{11}(x^2-4x-11)^3}{2-5x-3x^2}\geq 0.

Решение:

a) Отдельно рассмотрим случай: x^2-4x-11=1.

В этом случае x=-2 или x=6, но только x=6 удовлетворяет неравенству.

б) Далее рассматриваем x^2-4x-11\neq 1.

Для краткости, временно, обозначим x^2-4x-11 за m и поработаем с разностью log_5(x^2-4x-11)^2-log_{11}(x^2-4x-11)^3:

log_5m^2-log_{11}m^3=2log_5m-3log_{11}m=\frac{2}{log_m5}-\frac{3}{log_m11}=\frac{2log_m11-3log_m5}{log_m5\cdot log_m11}=

=\frac{log_m121-log_m125}{log_m5\cdot log_m11}=\frac{log_m\frac{121}{125}}{log_m5\cdot log_m11}=\frac{log_5\frac{121}{125}}{log_m11}.

Так как  log_5\frac{121}{125}<log_51,  то  log_5\frac{121}{125}<0, то есть знак разности log_5m^2-log_{11}m^3  –  есть знак    -log_m11.

Итак, в случае x\neq 6 исходное неравенство равносильно следующему:

\frac{-\log_{(x^2-4x-11)}11}{2-5x-3x^2}\geq 0.

Далее

log_{(x^2-4x-11)}11\cdot (3x-1)(x+2)\geq 0,  x\neq \frac{1}{3}, x\neq -2;

Знак   log_{(x^2-4x-11)}11,  согласно методу рационализации, есть знак

(x^2-4x-11-1)(11-1)   на x^2-4x-11>0.

Итак, перед нами система:

 \begin{cases} (x^2-4x-12)(3x-1)(x+2)\geq 0,& &x^2-4x-11>0,& &x\neq \frac{1}{3},& &x\neq -2;& \end{cases}

 \begin{cases} (x-6)(3x-1)(x+2)^2\geq 0,& &(x-(2-\sqrt{15}))(x-(2+\sqrt{15}))>0,& &x\neq \frac{1}{3},& &x\neq -2;& \end{cases}

Учитывая (а) и (б), имеем:

x\in (-\infty;-2)\cup (-2;2-\sqrt{15})\cup [6;+\infty).

Ответ: (-\infty;-2)\cup (-2;2-\sqrt{15})\cup [6;+\infty).

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Мурад

    Объясните пожалуйста пункты “а)” и “б)”. Почему в ОДЗ точка 6 закрашена? Мне кажется она должна быть выколота.

    Заранее спасибо.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      В пункте б, да она (точка 6) выкалывается за счет условия, озвученного в самом начале пункта б. Ну то есть из системы она выскакивает, но «убивается» начальным условием пункта б.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif