Задание №17 (С3) Т/Р №95 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство: $log_xlog_2(3-4^{x-1})\leq 1.$

Решение:

Решаем методом рационализации (методом замены множителей).

$\begin{cases}(x-1)(log_2(3-4^{x-1})-x)\leq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\log_2(3-4^{x-1})>0;\end{cases}$

И опять применяем метод замены множителей к $log_2(3-4^{x-1})-x:$

$\begin{cases}(x-1)(log_2(3-4^{x-1})-x)\leq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\3-4^{x-1}>1;\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1)((2^{x})^2+4\cdot 2^x-12)\geq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\4^{x-1}<2;\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1)(2^{x}-2)(2^x+6)\geq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\2^{2x-2}<2;\end{cases}$

И опять применяем метод замены множителей к $2^{x}-2$ первой строки системы (знак $2^x+6$ – плюс – «откидываем» множитель):

$\begin{cases}(x-1)(x-1)\geq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\2x-2<1;\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1)^2\geq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\x<1,5;\end{cases}$

Ответ: $(0;1)\cup (1;1,5).$