Задание №17 Т/Р №104 А. Ларина

2023-07-11

Смотрите также №15№16№18№19№20

Решите неравенство

$log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(x^2-7x+12)+1\geq 0.$

Решение:

$log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x((x-4)(x-3))+1\geq 0;$

$log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(4-x)-log_x(3-x)+1\geq 0;$

$log_x(3-x)(log_x(4-x)-1)-(log_x(4-x)-1)\geq 0;$

$(log_x(4-x)-1)(log_x(3-x)-1)\geq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$\begin{cases}(x-1)(4-x-x)(x-1)(3-x-x)\geq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\4-x>0,\\3-x>0,&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1)^2(4-2x)(3-2x)\geq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\x<3;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1)^2(x-2)(x-1,5)\geq 0,\\x\neq 1,\\0<x<3;&\end{cases}$

lk

$x\in (0;1)\cup (1;1,5]\cup [2;3).$

Ответ: $(0;1)\cup (1;1,5]\cup [2;3).$

Печать страницы
комментариев 14
  1. Иван

    Объясните пожалуйста решение: почему во второй строке решения были поменяны знаки выражений под знаком логарифма, при этом знак неравенства был сохранён, а после применения метода рационализации знак неравенства поменяли?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Иван, смотрите.
      [latexpage]$(x-3)(x-4)$ есть $(3-x)(4-x)$, верно?
      Но первое слагаемое $log_x9(3-x)log_x(4-x)$ не позволяет ‘расщепить’ второе на $log_x(x-3)+log_x(x-4)$, ведь иначе подлогарифмические выражения отрицательны.
      Нужно понимать, что, вообще говоря, $log_axy$ не есть всегда $log_ax+log_ay$ (это верно лишь в случае $x,y>0$). Может быть и так: $log_axy=log_a(-x)+log_a(-y)$ (при $x,y<0$).
      После применения метода рационализации знак был изменен ввиду опечатки...

      [ Ответить ]
      • Иван

        спасибо, теперь понятно )

        [ Ответить ]
  2. Анастасия

    Объясните пожалуйста, как в решении получили 4 и 5 строчки?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анастасия, в 4-й строке вынесли общий множитель [latexpage] $(log_x(4-x)-1)$ за скобку.
      В 5-й применили метод замены множителей (ссылка указана при решении).
      Обращайтесь, если что еще непонятно…

      [ Ответить ]
  3. terem

    мне непонятно, почему промежуток от 0 до 1 вошел в ответ.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Исходя из решения…
      Где именно возникло непонимание?

      [ Ответить ]
  4. Дима

    Почему как одз рассматривается 3-x>0 и 4-x>0, а не (x^2-7x+12)>0??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дмитрий, ограничение 3-x>0 и 4-x>0 диктует нам первое слагаемое неравенства. Против этого не попрешь.
      При этом x^2-7x+12=(3-x)(4-x). Замечаем, что x^2-7x+12>0 в двух случаях:
      3-x>0 и 4-x>0
      или
      3-x<0 и 4-x<0.
      Так?
      Второй случай невозможен, так как первое слагаемое неравенства тогда перестает существовать.
      Понятно ли так?

      [ Ответить ]
      • Дима

        Да-да, я чуть позже понял. Спасибо:)

        [ Ответить ]
  5. Ирина

    Каким образом в 5-ой строке применён метод замены множителей, что происходит с минус 1, она заменяется логарифмом? распишите это подробно, пожалуйста.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ирина, [latexpage] знак $log_x(4-x)-1$ (или что тоже самое – $log_x(4-x)-log_xx$) совпадает со знаком произведения $(x-1)(4-x-x)$ на ОДЗ.

      [ Ответить ]
  6. лия

    А откуда получилось (х—1) после замены

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из основания (логарифма), то есть из x, вычли 1. Чтобы понять, нужно изучить метод замены множителей, он же – метод рационализации.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




пять × один =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif