Задание №17 Т/Р №104 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство

log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(x^2-7x+12)+1\geq 0.

Решение:

log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x((x-4)(x-3))+1\geq 0;

log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(4-x)-log_x(3-x)+1\geq 0;

log_x(3-x)(log_x(4-x)-1)-(log_x(4-x)-1)\geq 0;

(log_x(4-x)-1)(log_x(3-x)-1)\geq 0;

Применяем метод замены множителей:

  \begin{cases} (x-1)(4-x-x)(x-1)(3-x-x)\geq 0,& &x>0,& &x\neq 1,& &4-x>0,& &3-x>0,& \end{cases}

  \begin{cases} (x-1)^2(4-2x)(3-2x)\geq 0,& &x>0,& &x\neq 1,& &x<3;& \end{cases}

 \begin{cases} (x-1)^2(x-2)(x-1,5)\geq 0,& &x\neq 1,& &0<x<3;& \end{cases}

x\in (0;1)\cup (1;1,5]\cup [2;3).

Ответ: (0;1)\cup (1;1,5]\cup [2;3).

Печать страницы
Комментариев: 14
  1. Иван

    Объясните пожалуйста решение: почему во второй строке решения были поменяны знаки выражений под знаком логарифма, при этом знак неравенства был сохранён, а после применения метода рационализации знак неравенства поменяли?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Иван, смотрите.
      (x-3)(x-4) есть (3-x)(4-x), верно?
      Но первое слагаемое log_x9(3-x)log_x(4-x) не позволяет ‘расщепить’ второе на log_x(x-3)+log_x(x-4), ведь иначе подлогарифмические выражения отрицательны.
      Нужно понимать, что, вообще говоря, log_axy не есть всегда log_ax+log_ay (это верно лишь в случае x,y>0). Может быть и так: log_axy=log_a(-x)+log_a(-y) (при x,y<0).
      После применения метода рационализации знак был изменен ввиду опечатки…

      [ Ответить ]
      • Иван

        спасибо, теперь понятно )

        [ Ответить ]
  2. Анастасия

    Объясните пожалуйста, как в решении получили 4 и 5 строчки?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Анастасия, в 4-й строке вынесли общий множитель (log_x(4-x)-1) за скобку.
      В 5-й применили метод замены множителей (ссылка указана при решении).
      Обращайтесь, если что еще непонятно…

      [ Ответить ]
  3. terem

    мне непонятно, почему промежуток от 0 до 1 вошел в ответ.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Исходя из решения…
      Где именно возникло непонимание?

      [ Ответить ]
  4. Дима

    Почему как одз рассматривается 3-x>0 и 4-x>0, а не (x^2-7x+12)>0??

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дмитрий, ограничение 3-x>0 и 4-x>0 диктует нам первое слагаемое неравенства. Против этого не попрешь.
      При этом x^2-7x+12=(3-x)(4-x). Замечаем, что x^2-7x+12>0 в двух случаях:
      3-x>0 и 4-x>0
      или
      3-x<0 и 4-x<0.
      Так?
      Второй случай невозможен, так как первое слагаемое неравенства тогда перестает существовать.
      Понятно ли так?

      [ Ответить ]
      • Дима

        Да-да, я чуть позже понял. Спасибо:)

        [ Ответить ]
  5. Ирина

    Каким образом в 5-ой строке применён метод замены множителей, что происходит с минус 1, она заменяется логарифмом? распишите это подробно, пожалуйста.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ирина, знак log_x(4-x)-1 (или что тоже самое – log_x(4-x)-log_xx) совпадает со знаком произведения (x-1)(4-x-x) на ОДЗ.

      [ Ответить ]
  6. лия

    А откуда получилось (х—1) после замены

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Из основания (логарифма), то есть из x, вычли 1. Чтобы понять, нужно изучить метод замены множителей, он же – метод рационализации.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif