Задание №17 Т/Р №104 А. Ларина

Елена Репина 2015-02-12 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство

$log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(x^2-7x+12)+1\geq 0.$

Решение:

$log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x((x-4)(x-3))+1\geq 0;$

$log_x(3-x)log_x(4-x)-log_x(4-x)-log_x(3-x)+1\geq 0;$

$log_x(3-x)(log_x(4-x)-1)-(log_x(4-x)-1)\geq 0;$

$(log_x(4-x)-1)(log_x(3-x)-1)\geq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$\begin{cases} (x-1)(4-x-x)(x-1)(3-x-x)\geq 0,& &x>0,& &x\neq 1,& &4-x>0,& &3-x>0,& \end{cases}$

$\begin{cases} (x-1)^2(4-2x)(3-2x)\geq 0,& &x>0,& &x\neq 1,& &x<3;& \end{cases}$

$\begin{cases} (x-1)^2(x-2)(x-1,5)\geq 0,& &x\neq 1,& &0<x<3;& \end{cases}$

$x\in (0;1)\cup (1;1,5]\cup [2;3).$

Ответ: $(0;1)\cup (1;1,5]\cup [2;3).$

Автор: egeMax | комментариев 14

Печать страницы

комментариев 14

Иван

2015-02-23 в 13:33

Объясните пожалуйста решение: почему во второй строке решения были поменяны знаки выражений под знаком логарифма, при этом знак неравенства был сохранён, а после применения метода рационализации знак неравенства поменяли?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-02-23 в 13:47
  
  Иван, смотрите.
  $(x-3)(x-4)$ есть $(3-x)(4-x)$ , верно?
  Но первое слагаемое $log_x9(3-x)log_x(4-x)$ не позволяет ‘расщепить’ второе на $log_x(x-3)+log_x(x-4)$ , ведь иначе подлогарифмические выражения отрицательны.
  Нужно понимать, что, вообще говоря, $log_axy$ не есть всегда $log_ax+log_ay$ (это верно лишь в случае $x,y>0$ ). Может быть и так: $log_axy=log_a(-x)+log_a(-y)$ (при $x,y<0$ ).
  После применения метода рационализации знак был изменен ввиду опечатки…
  
  [ Ответить ]
  - Иван
    
    2015-02-25 в 16:19
    
    спасибо, теперь понятно )
    
    [ Ответить ]
Анастасия

2015-03-01 в 17:47

Объясните пожалуйста, как в решении получили 4 и 5 строчки?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-01 в 19:24
  
  Анастасия, в 4-й строке вынесли общий множитель $(log_x(4-x)-1)$ за скобку.
  В 5-й применили метод замены множителей (ссылка указана при решении).
  Обращайтесь, если что еще непонятно…
  
  [ Ответить ]
terem

2015-03-09 в 01:50

мне непонятно, почему промежуток от 0 до 1 вошел в ответ.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-09 в 09:44
  
  Исходя из решения…
  Где именно возникло непонимание?
  
  [ Ответить ]
Дима

2015-03-15 в 14:24

Почему как одз рассматривается 3-x>0 и 4-x>0, а не (x^2-7x+12)>0??

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-03-15 в 16:29
  
  Дмитрий, ограничение 3-x>0 и 4-x>0 диктует нам первое слагаемое неравенства. Против этого не попрешь.
  При этом x^2-7x+12=(3-x)(4-x). Замечаем, что x^2-7x+12>0 в двух случаях:
  3-x>0 и 4-x>0
  или
  3-x<0 и 4-x<0.
  Так?
  Второй случай невозможен, так как первое слагаемое неравенства тогда перестает существовать.
  Понятно ли так?
  
  [ Ответить ]
  - Дима
    
    2015-03-15 в 18:57
    
    Да-да, я чуть позже понял. Спасибо:)
    
    [ Ответить ]
Ирина

2015-04-10 в 09:10

Каким образом в 5-ой строке применён метод замены множителей, что происходит с минус 1, она заменяется логарифмом? распишите это подробно, пожалуйста.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-10 в 17:05
  
  Ирина, знак $log_x(4-x)-1$ (или что тоже самое – $log_x(4-x)-log_xx$ ) совпадает со знаком произведения $(x-1)(4-x-x)$ на ОДЗ.
  
  [ Ответить ]
лия

2015-05-24 в 08:11

А откуда получилось (х—1) после замены

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-24 в 09:22
  
  Из основания (логарифма), то есть из x, вычли 1. Чтобы понять, нужно изучить метод замены множителей, он же – метод рационализации.
  
  [ Ответить ]

Задание №17 Т/Р №104 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ