Задание №17 Т/Р №108 А. Ларина

Решите неравенство

$\frac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-3x+10}{\sqrt{2x^2-7x+3}}>2$.

Решение:

Приводим к общему знаменателя обе части неравенства:

$\frac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-3x+10-2\sqrt{2x^2-7x+3}}{\sqrt{2x^2-7x+3}}>0;$

Выделяем в числителе полный квадрат:

$\frac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-((\sqrt{2x-1})^2+2\sqrt{2x^2-7x+6}+(\sqrt{x-3})^2)+6}{\sqrt{2x^2-7x+3}}>0;$

$\frac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3})^2+6}{\sqrt{2x^2-7x+3}}>0;$

$\frac{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3})^2-(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3})-6}{\sqrt{2x^2-7x+3}}<0;$

Раскладываем на множители квадратный трехчлен относительно $(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3})$ числителя (через дискриминант):

$\frac{(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-3)(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}+2)}{\sqrt{2x^2-7x+3}}<0;$

Знак $(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}+2)$ – плюс, – «отбрасываем» этот множитель.

$\frac{\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-3}{\sqrt{2x^2-7x+3}}<0;$

$\begin{cases}\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-3}-3<0,\\2x^2-7x+3>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2x-1+x-3+2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-3}<9,\\2x^2-7x+3>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}2\sqrt{2x-1}\sqrt{x-3}<13-3x,\\2x^2-7x+3>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}4(2x-1)(x-3)<169-78x+9x^2,\\13-3x\geq 0,\\x\geq 0,5,\\x\geq 0,5,\\x\geq 3,\\2(x-3)(x-0,5)>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}x^2-50x+157>0,\\x\leq \frac{13}{3},\\x>3;\end{cases}$

$\begin{cases}(x-(25-6\sqrt{13}))(x-(25+6\sqrt{13}))>0,\\x\leq \frac{13}{3},\\x>3;\end{cases}$

$x\in (3;25-6\sqrt{13}).$

Ответ: $(3;25-6\sqrt{13}).$