Задание №17 Т/Р №114 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20

Решите систему неравенств:

$\begin{cases}(4^x-8)\sqrt{4-2^x}\leq 0,\\log_{x^2}(15+x-2x^2)-log_{x^2}\frac{2x+5}{3-x}\leq 1;&\end{cases}$

Решение:

К первой строке системы (к каждому множителю) применяем метод замены множителей.

$\begin{cases}(x-log_48)(4-2^x)\leq 0,\\4-2^x\geq 0,\\log_{x^2}(15+x-2x^2)-(log_{x^2}\frac{2x+5}{3-x}+log_{x^2}x^2)\leq 0;&\end{cases}$

К последней строке системы также применяем метод замены множителей.

$\begin{cases}(x-1,5)(2-x)\leq 0,\\x\leq 2,\\(x^2-1)(15+x-2x^2-\frac{x^2(2x+5)}{3-x})\leq 0,\\x^2>0,\\x^2\neq 1,\\15+x-2x^2>0,\\\frac{2x+5}{3-x}>0;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1,5)(2-x)\leq 0,\\x\leq 2,\\\frac{(x^2-1)((15+x-2x^2)(3-x)-x^2(2x+5))}{3-x}\leq 0,\\x\neq 0,\\x\neq \pm 1,\\(x-3)(x+2,5)<0,\\-2,5< x<3;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1,5)(2-x)\leq 0,\\x\leq 2,\\\frac{(x^2-1)(12x^2+12x-45)}{3-x}\geq 0,\\x\neq 0,\\x\neq \pm 1,\\(x-3)(x+2,5)<0,\\-2,5< x<3;&\end{cases}$

$\begin{cases}(x-1,5)(2-x)\leq 0,\\x\leq 2,\\\frac{(x-1)(x+1)(x-1,5)(x+2,5)}{3-x}\geq 0,\\x\neq 0,\\x\neq \pm 1,\\(x-3)(x+2,5)<0,\\-2,5< x<3;&\end{cases}$

$x\in (-1;0)\cup (0;1)\cup ${$1,5$}$\cup ${$2$}.

Ответ: $(-1;0)\cup (0;1)\cup ${$1,5$}$\cup ${$2$}.