Задание №17 Т/Р №116 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство $log_x(1-2x)\leq 3-log_{(\frac{1}{x}-2)}x.$

Решение:

$log_x(1-2x)\leq 3-log_{(\frac{1}{x}-2)}x;$

$log_x(1-2x)\leq 3-\frac{1}{log_x(\frac{1-2x}{x})};$

$log_x(1-2x)\leq 3-\frac{1}{log_x(1-2x)-1};$

$\frac{log^2_x(1-2x)-log_x(1-2x)-3log_x(1-2x)+3+1}{log_x(1-2x)-1}\leq 0;$

$\frac{log^2_x(1-2x)-4log_x(1-2x)+4}{log_x(1-2x)-1}\leq 0;$

$\frac{(log_x(1-2x)-2)^2}{log_x(1-2x)-1}\leq 0;$

$\left [ \begin{array}{rcl}log_x(1-2x)-2=0,\\log_x(1-2x)-1<0;\end{array}\right.$

$\begin{cases}\left [ \begin{array}{rcl}1-2x=x^2,\\(x-1)(1-2x-x)<0;\end{array}\right.\\1-2x>0,\\x>0,\\x\neq 1;\end{cases}$

$\begin{cases}\left [ \begin{array}{rcl}x=-1\pm \sqrt2,\\(x-1)(1-3x)<0;\end{array}\right.\\x<\frac{1}{2},\\x>0,\\x\neq 1;\end{cases}$

$x\in (0;\frac{1}{3})\cup${$\sqrt2-1$}.

Ответ: $(0;\frac{1}{3})\cup\{\sqrt2-1\}.$