Задание №17 Т/Р №119 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15№16№18№19№20.

Решите неравенство \frac{log_{(-36x)}6^{x+2}}{log_{36}6^{x+2}}\leq log_{x^2}36.

Решение:

 \frac{log_{(-36x)}6^{x+2}}{log_{36}6^{x+2}}\leq log_{x^2}36;

 \frac{\frac{1}{log_{6^{x+2}}(-36x)}}{\frac{1}{log_{6^{x+2}}36}}\leq log_{|x|}6;

 \frac{log_{6^{x+2}}36}{log_{6^{x+2}}(-36x)}\leq log_{(-x)}6;

log_{(-36x)}36\leq log_{(-x)}6,  6^{x+2}\neq 1;

\frac{2}{log_{6}36+log_{6}(-x)}\leq \frac{1}{log_{6}(-x)},   x\neq -2;

\frac{2}{2+log_{6}(-x)}\leq \frac{1}{log_{6}(-x)},  x\neq -2;

\frac{2log_{6}(-x)-2-log_{6}(-x)}{(2+log_{6}(-x))log_{6}(-x)}\leq 0,  x\neq -2;

\frac{log_{6}(-x)-2}{(log_{6}(-x)-(-2))log_{6}(-x)}\leq 0,  x\neq -2;

К левой части неравенства применяем метод замены множителей:

\begin{cases} \frac{-x-36}{(-x-\frac{1}{36})(-x-1)}\leq 0,& &x\neq -2,& &-x>0;& \end{cases}

\begin{cases} \frac{x+36}{(x+\frac{1}{36})(x+1)}\geq 0,& &x\neq -2,& &x<0;& \end{cases}

Ответ: [-36;-2)\cup (-2;-1)\cup (-\frac{1}{36};0).

Печать страницы
Комментариев: 21
  1. Павел

    Извините, почему в ответ не включён промежуток (-1; -1/36)?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Павел, а где основания, чтобы его включить в ответ? Откуда он у вас вылезает?

      [ Ответить ]
      • Павел


        ОДЗ:
        {
        x < 0
        x неравен -1/36
        х неравен +- 1
        x неравен -2
        }
        Перехожу к другому основанию: log-36x(6^x+2)=log36(6^x+2)/log36(-36x)

        log36(6^x+2)/log36(-36x) * 1/log36(6^x+2) <= 1/log36(x^2)

        1/log36(-36x) = log36(x^2) # обе части в -1 степень
        -36x >= x^2
        x^2 + 36x <= 0

        x(x + 36) <= 0

        Методом интервалов нахожу x E [-36; 0]. По ОДЗ выкалываю точки {0,-1, -2, -1/36}
        Получаю x E [-36; -2) U (-2; -1) U (-1; -1/36) U (-1/36; 0)

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Павел, ошибка у вас пошла при переходе от
          \frac{1}{log_{36}(-36x)}\leq \frac{1}{loq_{36}x^2}
          к
          log_{36}(-36x)\geq loq_{36}x^2.
          Нет здесь равносильного перехода!
          Так надо далее действовать:
          \frac{loq_{36}x^2-log_{36}(-36x)}{log_{36}(-36x)\cdot loq_{36}x^2}\leq 0;

          Вы же не решаете, надеюсь, например, такое неравенство \frac{1}{x}<1 вот так: x>1?
          Ведь надо так: \frac{1-x}{x}<0, откуда x\in (0;1), а не x\in (1;+\infty).

          [ Ответить ]
          • Павел

            Благодарю.

            [ Ответить ]
          • Павел

            Хочу ещё уточнить два момента, оба о методе рационализации. Ваши примеры, решенные им, все ли имеют альтернативные решения?
            Как относятся проверяющие к подобному методу?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Конечно, можно всегда обходиться без метода рационализации. Он лишь укорачивает путь (чаще всего). Эксперты его, конечно, должны знать. Если, вдруг, попадется проверяющий, не знакомый с ним, в чем сомневаюсь, и зарубит решение, то всегда можно подать на апелляцию. Но очень не советую применять рационализацию, если нет понимания сути происходящего!

            [ Ответить ]
          • Анастасия

            Все равно не понимаю, почему этот промежуток не входит, объясните пожалуйста поподробнее

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Анастасия, о каком промежутке идет речь? Не понимаю.

            [ Ответить ]
          • Анастасия

            (-1; -1/36)

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Почитайте диалог с Павлом. Как раз то, что вам нужно.

            [ Ответить ]
  2. Наталья

    Здравствуйте)))
    объясните, пожалуйста, переход
    \frac{log_{6^{x+2}}36}{log_{6^{x+2}}(-36x)}\leq log_{(-x)}6;

    log_{(-36x)}36\leq log_{(-x)}6, 6^{x+2}\neq 1; я не поняла по каким свойствам логарифма это сделали.
    P.S. На реальном егэ тоже могут попасться такие сложные неравенства???

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Наталья, применено вот такое свойство логарифмов:
      \frac{log_ab}{log_ac}=log_cb
      Данное неравенство типично для заданий №17.

      [ Ответить ]
  3. Дима

    Можно вопросик?)
    Почему Вы так упорно избегайте замены в 17-ой задаче?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да уж, не впервые мне такой вопрос задается…
      Так уж повелось… Не люблю ее делать. Прибегаю к ней в крайних случаях.

      [ Ответить ]
  4. Елена

    Елена, если начать решение с области допустимых значений для переменной х, то детям, я думаю (показывает моя статистика), было бы проще читать и понимать решение.
    С уважением, Елена.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Но ведь случается, – рассматривая допустимые значения для переменной, мы делаем лишнюю работу. Нет-нет, да васкакивает какое-нибудь неравенство, например, которое можно было бы и не решать, идя через равносильность.
      Поэтому не могу заставить себя решать через ОДЗ :(
      И приучаю детей к равносильным переходам. Да, бывают случаи, когда выгоднее начать с одз.
      Елена, спасибо за коммент!

      [ Ответить ]
  5. Елена

    Спасибо, Елена. Попробую подействовать также.Возможно есть большие плюсы…

    [ Ответить ]
  6. Dima

    Объясните пожалуйста откуда берется минус в основании логарифма и еще не совсем ясно откуда берется 2 в числителе

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) Дима, |x|=-x при x<0. У нас именно такой случай согласно ОДЗ.
      2) log_{(-36x)}36=log_{(-36x)}6^2=2log_{(-36x)}6=\frac{2}{log_6(-36x)}.

      [ Ответить ]
  7. Dima

    Имею в виду это (-х)

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif