Задание №17 Т/Р №120 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №15»

Смотрите также №15, №16, №18, №19, №20.

Решите неравенство $log_x(11x-2x^2)+log_{11-2x}x^4\leq 5.$

Решение:

 $log_x(11x-2x^2)+log_{11-2x}x^4\leq 5;$

 $log_xx+log_x(11-2x)+\frac{1}{log_{x^4}11-2x}\leq 5;$

$1+log_x(11-2x)+\frac{4}{log_{|x|}(11-2x)}\leq 5;$

$\frac{log^2_x(11-2x)-4log_x(11-2x)+4}{log_{x}(11-2x)}\leq 0;$

$\frac{(log_x(11-2x)-2)^2}{log_{x}(11-2x)}\leq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$\begin{cases}\frac{((x-1)(11-2x-x^2))^2}{(x-1)(11-2x-1)}\leq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\1-2x>0;&\end{cases}$
$\begin{cases}\frac{(x-1)(x-(-1+2\sqrt{3}))^2(x-(-1-2\sqrt{3}))^2}{10-2x}\leq 0,\\x>0,\\x\neq 1,\\x<5,5;&\end{cases}$

Ответ: $(0;1)\cup ${$-1+2\sqrt3$}$(5;5,5).$