Задание №17 Т/Р №168 А. Ларин

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №168 А. Ларина

17. По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересечения одновременно начинают двигаться два автомобиля: один со скоростью $80$ км/ч, другой – $60$ км/ч. В начальный момент времени каждый автомобиль находится на расстоянии $100$ км от перекрестка. Определите время после начала движения, через которое расстояние между автомобилями будет наименьшим. Каково это расстояние?

Решение:

Спустя $t$ часов после начала движения один из автомобилей проедет $80t$ км, второй – $60t$ км.

До перекрестка одному останется проехать $(100-80t)$ км, второму – $(100-60t)$ км.

Расстояние между автомобилями выражается следующим образом: $\sqrt{(100-80t)^2+(100-60t)^2}.$ Расстояние будет наименьшим, если сумма $(100-80t)^2+(100-60t)^2$ будет наименьшей.

Введем  функцию $f(t):$

$f(t)=(100-80t)^2+(100-60t)^2.$

Исследуем $f(t)$ на наименьшее значение на $[0;+\infty)$.

$f'(t)=2(100-80t)\cdot (-80)+2(100-60t)\cdot (-60)=20000(t-1,4).$

$f'(t)=0$ при $t=1,4,$ причем $t=1,4$ – точка минимума.

Наименьшее значение $f(t)$ на $[0;+\infty)$ достигается при $t=1,4$ и равно $(100-80\cdot 1,4)^2+(100-60\cdot 1,4)^2=400.$

Итак, расстояние между автомобилями будет наименьшим, равным $20$ км, спустя $1,4$ часа после начала движения автомобилей.

Ответ: $20$ км, $1,4$ ч.