Задание №17 Т/Р №205 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №205 А. Ларина.

17. Фёдор является владельцем двух заводов в разных городах.
На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном в первом городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $3t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $4t^2$ часов в неделю, они производят $t$ приборов.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Фёдор платит рабочему $1$ тысячу руб. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось $30$ приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение:

Пусть рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $3x^2$ часов в неделю, за эту неделю они производят $x$ приборов; рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $4y^2$ часов в неделю, они производят $y$ приборов.

Фёдор платит рабочему $1$ тысячу рублей за каждый час работы, поэтому ему придется тратить на оплату труда рабочим $3x^2+4y^2$ тысяч рублей.

А поскольку необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось $30$ приборов (то есть $x+y=30$), то на оплату труда рабочим уйдет $3x^2+4(30-x)^2$ тысяч рублей.

Рассмотрим функцию  $f(x)=3x^2+4(30-x)^2$.

Задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции $f(x).$

$f'(x)=6x-8(30-x)=14x-240=14(x-\frac{120}{7}).$

$17\frac{1}{7}$ – точка минимума $f(x)$ (абсцисса вершины параболы),

Но по условию $x$ – натуральное, поэтому берем ближайшее натуральное значение  $x$ к $17\frac{1}{7},$ а это $17$ (учли симметрию параболы относительно $x=17\frac{1}{7}$ ).

$f(17)=1543.$

Итак, наименьшая сумма денег, которую владельцу завода придется тратить на оплату труда рабочих еженедельно, – это $1543000$ рублей.

Ответ: $1543000$ рублей.