Задание №17 Т/Р №162 А. Ларина

Смотрите также №13; №14; №15; №16; №18; №19 Тренировочной работы №162 А. Ларина

17. В 2011‐м году во время празднования своего дня рождения я обнаружил, что если между цифрами моего года рождения вставить знаки действий “x”, “+”, “x”, то получилось бы выражение, равное моему тогдашнему возрасту. Сколько лет мне исполнится в следующем (2017‐м) году?

Решение:

Пусть

$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$ – дата рождения автора задачи,

где $a\in$ {$1;2$}$,b,c,d \in ${$0;1;…9$}.

Допустим, автор задачи – долгожитель и его возраст в $2011$-м году исчисляется трехзначным числом. Но поскольку по условию $ab+cd$ – возраст автора задачи в $2011$-м, а $ab\leq 18,cd\leq 81$, то $ab+cd\leq 99.$

Итак, возраст автора задачи не больше $99.$

Пусть возраст автора – $n.$

Рассмотрим первый случай.

Пусть $a=2.$

Но тогда, очевидно, $b=0.$

Согласно условию задачи

$cd=n$ (1)

и

$2011-(2000+10c+d)=n$  (2)

Подставляя (1) в (2), получаем

$10c+d-cd=11.$

При этом, очевидно, $c\in ${$0;1$}. При указанных $c$ последнее уравнение не имеет решений на указанном ранее множестве допустимых значений $d$.

Рассмотрим второй случай.

Пусть $a=1.$ Очевидно $b=9.$

Имеем

$9+cd=n$ (3)

и

$2011-(1000+900+10c+d)=n$ (4)

Подставляя (3) в (4), получаем

$111=10c+d+9+cd$

или

$102=10c+d+cd.$

Если $d=0,$ то $102=10c$ – противоречие.

Если $d=1,$ то $102=11c+1$ – противоречие.

Если $d=2,$ то $102=12c+2$ – противоречие.

Если $d=3,$ то $102=13c+3$ – противоречие.

Если $d=4,$ то $102=14c+4$, то есть $c=7$.

Если $d=5,$ то $102=15c+5$ – противоречие.

Если $d=6,$ то $102=16c+6$, то есть $c=6$.

Если $d=7,$ то $102=17c+7$ – противоречие.

Если $d=8,$ то $102=18c+8$ – противоречие.

Если $d=9,$ то $102=19c+9$ – противоречие.

Итак, либо автор задачи родился в $1974$-м году. В 2011-м ему было $37$ лет. В $2017$-м автору будет $43.$

Либо автор задачи родился в $1966$-м году. В 2011-м ему было $45$ лет. В $2017$-м автору будет $51.$

Ответ: $43;51.$