Задание №18. Досрочная волна 2018. Резервный день

2018-05-10
Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15№16; №17№19 

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &xy=a^2-3a \end{cases}

имеет ровно два различных решения?

Решение:

\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &xy=a^2-3a \end{cases}

Используем метод сложения при решении системы:

\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &x^2-2xy+y^2=6a-a^2;& \end{cases}

\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &(x-y)^2=6a-a^2;,& \end{cases}

\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &y=x\pm\sqrt{6a-a^2};,& \end{cases}

Первая строка последней системы – семейство окружностей с центром (0;0), радиусом |a|. При a=0 окружность вырождается в точку (0;0).

Вторая строка последней системы – семейство пар параллельных прямых (при a\neq 0,a\neq 6), симметричных относительно прямой y=x.  При a=0,a=6 прямые сливаются в одну – y=x.

Очевидно тогда, что одно решение для исходной системы следует искать при таких значениях параметра a, при которых

  1. происходит касание окружности и пары прямых y=x\pm\sqrt{6a-a^2};
  2. прямые y=x\pm\sqrt{6a-a^2} сливаются в одну – y=x.

В первом случае расстояние между прямыми y=x\pm\sqrt{6a-a^2} – длина диаметра окружности x^2+y^2=a^2.

То есть

\sqrt2\cdot \sqrt{6a-a^2}=2|a|;

\sqrt{6a-a^2}=\sqrt2\cdot |a|;

6a-a^2=2a^2;

2a=a^2;

a=0 (не подходит,  – окружность вырождается в точку) или a=2.

Во втором случае требуем \sqrt{6a-a^2}=0, откуда a=0 (не подходит) или a=6.

Итак, исходная система имеет два решения при a=2 или a=6.

Ответ: 2;6.

Печать страницы
комментария 2
  1. Артем

    При а=3 будет 4 решения (0;3),(0;-3);(3;0);(-3;0)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Артем, спасибо большое! Опечатка закралась. Исправлено!

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пять × четыре =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif