Главная / 18 (С6) Параметры*

02 Май 2018

Категория: 18 (С6) Параметры*

Задание №18. Досрочная волна 2018. Резервный день

Елена Репина 2018-05-02 2018-05-10

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №17; №19

18. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &xy=a^2-3a \end{cases}$

имеет ровно два различных решения?

Решение:

$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &xy=a^2-3a \end{cases}$

Используем метод сложения при решении системы:

$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &x^2-2xy+y^2=6a-a^2;& \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &(x-y)^2=6a-a^2;,& \end{cases}$

$\begin{cases} x^2+y^2=a^2,& &y=x\pm\sqrt{6a-a^2};,& \end{cases}$

Первая строка последней системы – семейство окружностей с центром $(0;0),$ радиусом $|a|.$ При $a=0$ окружность вырождается в точку $(0;0).$

Вторая строка последней системы – семейство пар параллельных прямых (при $a\neq 0,a\neq 6$ ), симметричных относительно прямой $y=x.$ При $a=0,a=6$ прямые сливаются в одну – $y=x.$

Очевидно тогда, что одно решение для исходной системы следует искать при таких значениях параметра $a,$ при которых

происходит касание окружности и пары прямых $y=x\pm\sqrt{6a-a^2};$
прямые $y=x\pm\sqrt{6a-a^2}$ сливаются в одну – $y=x.$

В первом случае расстояние между прямыми $y=x\pm\sqrt{6a-a^2}$ – длина диаметра окружности $x^2+y^2=a^2.$

То есть

$\sqrt2\cdot \sqrt{6a-a^2}=2|a|;$

$\sqrt{6a-a^2}=\sqrt2\cdot |a|;$

$6a-a^2=2a^2;$

$2a=a^2;$

$a=0$ (не подходит, – окружность вырождается в точку) или $a=2.$

Во втором случае требуем $\sqrt{6a-a^2}=0,$ откуда $a=0$ (не подходит) или $a=6.$

Итак, исходная система имеет два решения при $a=2$ или $a=6.$

Ответ: $2;6.$

Автор: egeMax | комментария 2

Печать страницы

комментария 2

Артем

2018-05-10 в 20:26

При а=3 будет 4 решения (0;3),(0;-3);(3;0);(-3;0)

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2018-05-10 в 22:49
  
  Артем, спасибо большое! Опечатка закралась. Исправлено!
  
  [ Ответить ]

Добавить комментарий Отменить ответ

Найти:
Материалы для подготовки к ЕГЭ
№13 №15 №17 №18
Рубрики
- 01 Простейшие текст/задачи (3)
- 02 Читаем графики (1)
- 03 Геометрия, ч. I (11)
- 04 Теория вероятностей (2)
- 05 Простейшие уравнения (5)
- 06 Геометрия, ч. II (11)
- 07 Производная, ПО (4)
- 08 Стереометрия (11)
- 09 Вычисления (6)
- 10 «Прикладные» задачи (4)
- 11 Текстовые задачи (7)
- 12 Исследование функции (2)
- 13 (С1) Уравнения (78)
- 14 (С2) Стереометр. задачи (94)
- 15 (С3) Неравенства (89)
- 16 (С4) Планиметр. задачи (86)
- 17 (С5) Практич. задачи (71)
- 18 (С6) Параметры* (79)
- 19 (С7) Числа, их свойства (38)
- Видеоуроки (44)
- ГИА (11)
  - II часть (11)
- ЕГЭ (диагностич. работы) (68)
- Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
- Логарифмы (39)
- МГУ (12)
- Метод интервалов (4)
- Метод рационализации (18)
- Модуль (9)
- Параметр (39)
- Переменка (5)
- Планиметрия (77)
- Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
- Разложение на множители (1)
- Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
- Справочные материалы (86)
- Стереометрия (52)
- Т/P A. Ларина (444)
- Текстовые задачи (12)
- Теория чисел (2)
- Тесты по темам (68)
- Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (45)
- Функции и графики (10)
Дружественные сайты
Сайт А. Ларина ЕгэТренер – О. Себедаш Математика?Легко! Егэ? Ок! – И. Фельдман
Свежие записи
Архивы Архивы

Подготовка к ЕГЭ по математике © 2013 - 2019