Задание №18. Досрочная волна 2018. Резервный день

Разбор заданий резервного дня сдачи досрочного ЕГЭ 2018

Смотрите также задания №13; №14; №15; №16; №17; №19 

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}x^2+y^2=a^2,\\xy=a^2-3a;&\end{cases}$

имеет ровно два различных решения?

Решение:

$\begin{cases}
x^2+y^2=a^2,\\
xy=a^2-3a;
\end{cases}$

Используем метод сложения при решении системы:

$\begin{cases}
x^2+y^2=a^2,\\
x^2-2xy+y^2=6a-a^2;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2+y^2=a^2,\\
(x-y)^2=6a-a^2;
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2+y^2=a^2,\\
y=x\pm\sqrt{6a-a^2};
\end{cases}$

Первая строка последней системы – семейство окружностей с центром $(0;0),$ радиусом $|a|.$ При $a=0$ окружность вырождается в точку $(0;0).$

Вторая строка последней системы – семейство пар параллельных прямых (при $a\neq 0,a\neq 6$), симметричных относительно прямой $y=x.$  При $a=0,a=6$ прямые сливаются в одну – $y=x.$

Очевидно тогда, что одно решение для исходной системы следует искать при таких значениях параметра $a,$ при которых

1. происходит касание окружности и пары прямых $y=x\pm\sqrt{6a-a^2};$
2. прямые $y=x\pm\sqrt{6a-a^2}$ сливаются в одну – $y=x.$

В первом случае расстояние между прямыми $y=x\pm\sqrt{6a-a^2}$ – длина диаметра окружности $x^2+y^2=a^2.$

То есть

$\sqrt2\cdot \sqrt{6a-a^2}=2|a|;$

$\sqrt{6a-a^2}=\sqrt2\cdot |a|;$

$6a-a^2=2a^2;$

$2a=a^2;$

$a=0$ (не подходит,  – окружность вырождается в точку) или $a=2.$

Во втором случае требуем $\sqrt{6a-a^2}=0,$ откуда $a=0$ (не подходит) или $a=6.$

Итак, исходная система имеет два решения при $a=2$ или $a=6.$

Ответ: $2;6.$