Задание №18. Досрочный ЕГЭ 2018

Елена Репина 2018-05-08 2018-05-08

Смотрите также задания №1-12; №13; №14; №15; №16; №17; №19

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

$\begin{cases} ((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot ln(9-x^2-y^2)=0,& & ((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot (x+y-a+5)=0; \end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Решение:

$\begin{cases} \left[\begin{gathered} (x+5)^2+y^2=a^2,& ln(9-x^2-y^2)=0;& \end{gathered}\right& &\left[\begin{gathered} (x+5)^2+y^2=a^2,& x+y-a+5=0;& \end{gathered}\right& &9-x^2-y^2>0;& \end{cases}$

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} (x+5)^2+y^2=a^2,& &9-x^2-y^2>0;& \end{cases}& \begin{cases} &ln(9-x^2-y^2)=0;& &x+y-a+5=0;& \end{cases} \end{gathered}\right&$

$\left[\begin{gathered} \begin{cases} (x+5)^2+y^2=a^2,& &x^2+y^2<9;& (*) \end{cases}& \begin{cases} &x^2+y^2=8;& &x+y-a+5=0; (**) \end{cases} \end{gathered}\right&$

$(x+5)^2+y^2=a^2$ – семейство окружностей с центром $(-5;0),$ радиусом $|a|.$

$x^2+y^2<9$ – круг с открытой границей с центром $(0;0),$ радиусом $3$ .

Первая система (*) указанной выше совокупности либо не имеет решений ( $|a|\leq 2,$ $|a|\geq 8$ ), либо имеет бесконечно много решений ( $2<|a|<8$ ). Поэтому, если мы хотим, чтобы исходная система имела бы два решения, необходимо, как минимум, потребовать, чтобы первая система (*) последней совокупности не имела бы решений. Также необходимо, чтобы вторая система (**) совокупности имела бы два решения.

Первое требование, как мы уже замечали, выполняется при $|a|\leq 2$ или $|a|\geq 8,$ то есть $a\in (-\infty;-8]\cup [-2;2]\cup [8;+\infty).$

Второе требование (система (**) имеет два решения) выполняется при $1<a<9.$
Действительно, прямая $y=-x-a+5$ должна занимать положение между параллельными прямыми $y=-x+4,$ $y=-x-4,$ ведь именно они отвечают за касание $x^2+y^2=8$ и $y=-x-a+5$ (если радиус окружности $2\sqrt2$ – высота равнобедренного прямоугольника треугольника, проведенная к гипотенузе, то катеты равны $4$ ).