Задание №18. Досрочный ЕГЭ 2018

2018-05-08

Смотрите также задания №1-12№13; №14; №15№16; №17№19

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
уравнений

\begin{cases} ((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot ln(9-x^2-y^2)=0,& & ((x+5)^2+y^2-a^2)\cdot (x+y-a+5)=0; \end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение:

\begin{cases} \left[\begin{gathered} (x+5)^2+y^2=a^2,& ln(9-x^2-y^2)=0;& \end{gathered}\right& &\left[\begin{gathered} (x+5)^2+y^2=a^2,& x+y-a+5=0;& \end{gathered}\right& &9-x^2-y^2>0;& \end{cases}

\left[\begin{gathered} \begin{cases} (x+5)^2+y^2=a^2,& &9-x^2-y^2>0;& \end{cases}& \begin{cases} &ln(9-x^2-y^2)=0;& &x+y-a+5=0;& \end{cases} \end{gathered}\right&

\left[\begin{gathered} \begin{cases} (x+5)^2+y^2=a^2,& &x^2+y^2<9;&               (*) \end{cases}& \begin{cases} &x^2+y^2=8;& &x+y-a+5=0;                     (**) \end{cases} \end{gathered}\right&

(x+5)^2+y^2=a^2 – семейство окружностей с центром  (-5;0), радиусом |a|.

x^2+y^2<9 – круг с открытой границей с центром (0;0), радиусом 3.

Первая система (*) указанной выше совокупности либо не имеет решений (|a|\leq 2,  |a|\geq 8), либо имеет бесконечно много решений (2<|a|<8). Поэтому, если мы хотим, чтобы исходная система имела бы два решения, необходимо, как минимум, потребовать, чтобы первая система (*) последней совокупности не имела бы решений. Также необходимо, чтобы вторая система (**) совокупности имела бы два решения.

Первое требование, как мы уже замечали, выполняется при  |a|\leq 2 или |a|\geq 8, то есть a\in (-\infty;-8]\cup [-2;2]\cup [8;+\infty).

Второе требование (система (**) имеет два решения) выполняется при 1<a<9.
Действительно, прямая y=-x-a+5 должна занимать положение между параллельными прямыми y=-x+4, y=-x-4, ведь именно они отвечают за касание x^2+y^2=8 и y=-x-a+5  (если радиус окружности 2\sqrt2 – высота равнобедренного прямоугольника треугольника, проведенная к гипотенузе, то катеты  равны 4).

Итак,

a\in (1;2]\cup [8;9).

Ответ: (1;2]\cup [8;9).

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

семь + десять =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif