Задание №18. Реальный ЕГЭ 2019 от 29 мая

Условия заданий 1-19,  ответы

Разбор заданий №13; №14; №15; №16; №17; №19

17. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$\frac{|4x|-x-3-a}{x^2-x-a}=0$

имеет ровно два различных решения?

Решение:

$\begin{cases}
|4x|-x-3-a=0,\\
x^2-x-a\neq 0;
\end{cases}$

$\begin{cases}
a=|4x|-x-3,\\
a\neq x^2-x;
\end{cases}$

Рассмотрим первую строку системы:

$\begin{cases}
a=3x-3,\\
x\geq 0;
\end{cases}\quad $   или    $\begin{cases}
a=-5x-3,\\
x<0;
\end{cases}$

Изобразим указанное множество точек. Работаем в системе координат $(xa):$

Парабола $a=x^2-x$ “выкалывает” на графике $a=|4x|-x-3$ четыре точки.

Найдем точки пересечения прямых $a=3x-3,a=-5x-3$ с параболой $a=x^2-x.$

$\begin{cases}
3x-3=x^2-x,\\
a=3x-3;
\end{cases}$

Решение – $(1;0), (3;6).$

$\begin{cases}
-5x-3=x^2-x,\\
a=3x-3;
\end{cases}$

Решение – $(-1;2), (-3;12).$

Итак, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при $a\in (-3;0)\cup (0;2)\cup (2;6)\cup (6;12)\cup (12;+\infty).$

Ответ: $(-3;0)\cup (0;2)\cup (2;6)\cup (6;12)\cup (12;+\infty).$