Задание №18 (С4) из Т/Р №87 А. Ларина

Смотрите также задания №16, №17, №20

Хорда $AB$ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка $C$ лежит на этой дуге, а точка $D$ лежит на хорде $AB$. При этом $AD = 2,$ $BD = 1,$ $DC = \sqrt2$.
а) Докажите, что угол $ADC$ равен $\frac{\pi}{6}.$
б) Найдите площадь треугольника $ABC$.

Решение:

а) Замечаем: треугольник $AOB$ ($O$ –центр окружности) – равнобедренный

($AO=BO$ как радиусы), $\angle O=120^{\circ}$, $AB=3$.

Тогда по т. косинусов:

$3^2=2AO^2-2AO^2\cdot cos120^{\circ};$

$9=3AO^2;$

$AO=\sqrt3.$

Применим и к треугольнику $ADO$ теорему косинусов:

$OD^2=AO^2+AD^2-2AO\cdot AD\cdot cos 30^{\circ};$

$OD^2=3+4-2\cdot \sqrt3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt3}{2};$

$OD=1.$

Но тогда замечаем, что треугольник $ODC$ – прямоугольный, ведь

$OC=OA=\sqrt3$, $CD=\sqrt2$, $OD=1$ дают $OD^2+CD^2=OC^2$.

Далее внешний угол $ADO$ равнобедренного треугольника $ODB$, есть сумма углов $DOB$ и $DBO$, то есть $\angle ADO=60^{\circ}.$

Наконец,

$\angle ADC=\angle ODC-\angle ODA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.$

Что и требовалось доказать.

б) Найдем площадь треугольника $ABC:$

$S_{ABC}=S_{ACD}+S_{CDB};$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CD\cdot sinADC+\frac{1}{2}\cdot CD\cdot DB\cdot sinCDB;$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}(2\cdot \sqrt2\cdot \frac{1}{2}+\sqrt2\cdot 1\cdot \frac{1}{2});$

$S_{ABC}=\frac{3\sqrt2}{4}.$

Ответ: $\frac{3\sqrt2}{4}.$