Задание №18 (С4) из Т/Р №87 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также задания №16, №17, №20.

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка C лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1, DC = \sqrt2.
а) Докажите, что угол ADC равен \frac{\pi}{6}.
б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

а) Замечаем: треугольник AOB (O –центр окружности) – равнобедренный

(AO=BO как радиусы), \angle O=120^{\circ}, AB=3.

Тогда по т. косинусов:

3^2=2AO^2-2AO^2\cdot cos120^{\circ};

9=3AO^2;

AO=\sqrt3.

Применим и к треугольнику ADO теорему косинусов:

OD^2=AO^2+AD^2-2AO\cdot AD\cdot cos 30^{\circ};

OD^2=3+4-2\cdot \sqrt3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt3}{2};

OD=1.

Но тогда замечаем, что треугольник ODC – прямоугольный, ведь

OC=OA=\sqrt3, CD=\sqrt2, OD=1 дают OD^2+CD^2=OC^2.

Далее внешний угол ADO равнобедренного треугольника ODB, есть сумма углов DOB и DBO, то есть \angle ADO=60^{\circ}.

Наконец,

\angle ADC=\angle ODC-\angle ODA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.

Что и требовалось доказать.

б) Найдем площадь треугольника ABC:

S_{ABC}=S_{ACD}+S_{CDB};

S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CD\cdot sinADC+\frac{1}{2}\cdot CD\cdot DB\cdot sinCDB;

S_{ABC}=\frac{1}{2}(2\cdot \sqrt2\cdot \frac{1}{2}+\sqrt2\cdot 1\cdot \frac{1}{2});

S_{ABC}=\frac{3\sqrt2}{4}.

Ответ: \frac{3\sqrt2}{4}.

Печать страницы
Комментариев: 6
  1. Алена

    Как здорово, что я встретила ваш сайт. красивые решения. красивые рисунки. спасибо. буду у вас учиться Елена Юрьевна.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Алена, добро пожаловать! ;)

      [ Ответить ]
  2. Ольга

    Здравствуйте, а почему CD=корень из 2, если DC=2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга, в самом условии не пропечатался корень… СD=корень из 2.
      Подправила. Спасибо!

      [ Ответить ]
  3. Ольга

    Спасибо вам за хорошие решения. Узнаю много нового для себя.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;)

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif