Задание №18 (С4) из Т/Р №87 А. Ларина

2023-07-22

Смотрите также задания №16, №17, №20

Хорда $AB$ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка $C$ лежит на этой дуге, а точка $D$ лежит на хорде $AB$. При этом $AD = 2,$ $BD = 1,$ $DC = \sqrt2$.
а) Докажите, что угол $ADC$ равен $\frac{\pi}{6}.$
б) Найдите площадь треугольника $ABC$.

Решение:

а) Замечаем: треугольник $AOB$ ($O$ –центр окружности) – равнобедренный

($AO=BO$ как радиусы), $\angle O=120^{\circ}$, $AB=3$.

j

Тогда по т. косинусов:

$3^2=2AO^2-2AO^2\cdot cos120^{\circ};$

$9=3AO^2;$

$AO=\sqrt3.$

ло

Применим и к треугольнику $ADO$ теорему косинусов:

$OD^2=AO^2+AD^2-2AO\cdot AD\cdot cos 30^{\circ};$

$OD^2=3+4-2\cdot \sqrt3\cdot 2\cdot \frac{\sqrt3}{2};$

$OD=1.$

Но тогда замечаем, что треугольник $ODC$ – прямоугольный, ведь

$OC=OA=\sqrt3$, $CD=\sqrt2$, $OD=1$ дают $OD^2+CD^2=OC^2$.

Далее внешний угол $ADO$ равнобедренного треугольника $ODB$, есть сумма углов $DOB$ и $DBO$, то есть $\angle ADO=60^{\circ}.$

Наконец,

$\angle ADC=\angle ODC-\angle ODA=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}.$

Что и требовалось доказать.

б) Найдем площадь треугольника $ABC:$

$S_{ABC}=S_{ACD}+S_{CDB};$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot CD\cdot sinADC+\frac{1}{2}\cdot CD\cdot DB\cdot sinCDB;$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}(2\cdot \sqrt2\cdot \frac{1}{2}+\sqrt2\cdot 1\cdot \frac{1}{2});$

$S_{ABC}=\frac{3\sqrt2}{4}.$

Ответ: $\frac{3\sqrt2}{4}.$

Печать страницы
комментариев 6
  1. Алена

    Как здорово, что я встретила ваш сайт. красивые решения. красивые рисунки. спасибо. буду у вас учиться Елена Юрьевна.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Алена, добро пожаловать! ;)

      [ Ответить ]
  2. Ольга

    Здравствуйте, а почему CD=корень из 2, если DC=2?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Ольга, в самом условии не пропечатался корень… СD=корень из 2.
      Подправила. Спасибо!

      [ Ответить ]
  3. Ольга

    Спасибо вам за хорошие решения. Узнаю много нового для себя.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;)

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




10 + 6 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif