Задание №18 (С4) Т/Р №89 А. Ларина

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Точка $X$ лежит на его стороне $AD$, причем $BX||CD$ и $CX||BA$, $AX=\frac{3}{2}$ и $DX=6$.

a) Докажите, что треугольники $ABX$ и $BXC$ подобны;

б) Найдите $BC$.

Решение:

a) Очевидно $ \angle 1=\angle 2$ (см. рис.) (углы 1 и 2 – соответственные углы при параллельных прямых $BX$, $CD$ и секущей $AD$). Аналогично $\angle 3=\angle 4$.

$\angle 5=\angle 6=\angle 7$,

так как

угол $6$ дополняет углы $1$, $3$  до $180^{\circ}$,

угол $5$ дополняет углы $2$ (читаем $1$) и $3$ до $180^{\circ}$,

угол $7$ дополняет углы $2$ (читаем $1$), $4$ (читаем $3$)  до $180^{\circ}$.

Далее $\angle BCD=180^{\circ}-\angle 1$, так как углы $A$ и $C$ – противолежащие углы четырехугольника, вписанного в окружность.

Последнее равенство можно переписать и так:

$\angle BCD=180^{\circ}-(180^{\circ}-(\angle 3+\angle 6))=\angle 3+\angle 6=\angle 3+\angle 7$.

Но $\angle BCD=\angle BCX+\angle7$. Следовательно, $\angle 3=\angle BCX.$

Итак, в треугольниках $ABX$ и $BXC$ – две пары равных углов ($\angle 3=\angle 8$ и $\angle 6=\angle 5$). Треугольники подобны по первому признаку.

б)

Из подобия треугольников $ABX$, $BXC$  и $XCD$ (а очевидно, что последний треугольник подобен первым двум) следует:

$\frac{AX}{BC}=\frac{BC}{XD},$

откуда

$BC^2=AX\cdot XD;$

$BC^2=\frac{3}{2}\cdot 6;$

$BC=3;$

Ответ: 3.

Здесь №15, №16, №17, №19.