В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Четырехугольник вписан в окружность. Точка
лежит на его стороне
, причем
и
,
и
.
a) Докажите, что треугольники и
подобны;
б) Найдите .
Решение:
a) Очевидно (см. рис.) (углы 1 и 2 – соответственные углы при параллельных прямых
,
и секущей
). Аналогично
.
,
так как
угол дополняет углы
,
до
,
угол дополняет углы
(читаем
) и
до
,
угол дополняет углы
(читаем
),
(читаем
) до
.
Далее , так как углы
и
– противолежащие углы четырехугольника, вписанного в окружность.
Последнее равенство можно переписать и так:
.
Но . Следовательно,
Итак, в треугольниках и
– две пары равных углов (
и
). Треугольники подобны по первому признаку.
б)
Из подобия треугольников ,
и
(а очевидно, что последний треугольник подобен первым двум) следует:
откуда
Ответ: 3.
Добавить комментарий