Задание №18 (С4) Т/Р №89 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его стороне AD, причем BX||CD и CX||BA, AX=\frac{3}{2} и DX=6.

a) Докажите, что треугольники ABX и BXC подобны;

б) Найдите BC.

Решение:

a) Очевидно \angle 1=\angle 2 (см. рис.) (углы 1 и 2 – соответственные углы при параллельных прямых BX, CD и секущей AD). Аналогично \angle 3=\angle 4.

\angle 5=\angle 6=\angle 7,

так как

угол 6 дополняет углы 1, 3  до 180^{\circ},

угол 5 дополняет углы 2 (читаем 1) и 3 до 180^{\circ},

угол 7 дополняет углы 2 (читаем 1), 4 (читаем 3)  до 180^{\circ}.

Далее \angle BCD=180^{\circ}-\angle 1, так как углы A и C – противолежащие углы четырехугольника, вписанного в окружность.

Последнее равенство можно переписать и так:

\angle BCD=180^{\circ}-(180^{\circ}-(\angle 3+\angle 6))=\angle 3+\angle 6=\angle 3+\angle 7.

Но \angle BCD=\angle BCX+\angle7. Следовательно, \angle 3=\angle BCX.

Итак, в треугольниках ABX и BXC – две пары равных углов (\angle 3=\angle 8 и \angle 6=\angle 5). Треугольники подобны по первому признаку.

б)

Из подобия треугольников ABX, BXC  и XCD (а очевидно, что последний треугольник подобен первым двум) следует:

\frac{AX}{BC}=\frac{BC}{XD},

откуда

BC^2=AX\cdot XD;

BC^2=\frac{3}{2}\cdot 6;

BC=3;

Ответ: 3.

Здесь №15, №16, №17, №19.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif