30 Окт 2014

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

Задание №18 (С4) Т/Р №89 А. Ларина

Елена Репина 2014-10-30 2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Точка $X$ лежит на его стороне $AD$ , причем $BX||CD$ и $CX||BA$ , $AX=\frac{3}{2}$ и $DX=6$ .

a) Докажите, что треугольники $ABX$ и $BXC$ подобны;

б) Найдите $BC$ .

Решение:

a) Очевидно $\angle 1=\angle 2$ (см. рис.) (углы 1 и 2 – соответственные углы при параллельных прямых $BX$ , $CD$ и секущей $AD$ ). Аналогично $\angle 3=\angle 4$ .

$\angle 5=\angle 6=\angle 7$ ,

так как

угол $6$ дополняет углы $1$ , $3$ до $180^{\circ}$ ,

угол $5$ дополняет углы $2$ (читаем $1$ ) и $3$ до $180^{\circ}$ ,

угол $7$ дополняет углы $2$ (читаем $1$ ), $4$ (читаем $3$ ) до $180^{\circ}$ .

Далее $\angle BCD=180^{\circ}-\angle 1$ , так как углы $A$ и $C$ – противолежащие углы четырехугольника, вписанного в окружность.

Последнее равенство можно переписать и так:

$\angle BCD=180^{\circ}-(180^{\circ}-(\angle 3+\angle 6))=\angle 3+\angle 6=\angle 3+\angle 7$ .

Но $\angle BCD=\angle BCX+\angle7$ . Следовательно, $\angle 3=\angle BCX.$

Итак, в треугольниках $ABX$ и $BXC$ – две пары равных углов ( $\angle 3=\angle 8$ и $\angle 6=\angle 5$ ). Треугольники подобны по первому признаку.

б)

Из подобия треугольников $ABX$ , $BXC$ и $XCD$ (а очевидно, что последний треугольник подобен первым двум) следует:

$\frac{AX}{BC}=\frac{BC}{XD},$

откуда

$BC^2=AX\cdot XD;$

$BC^2=\frac{3}{2}\cdot 6;$

$BC=3;$

Ответ: 3.

Здесь №15, №16, №17, №19.

Автор: egeMax | Нет комментариев

Печать страницы

Задание №18 (С4) Т/Р №89 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ