В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Биссектрисы и
треугольника
пересекаются в точке
, причем
,
В четырехугольник
вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности.
Решение:
а) Вспомним, что центр вписанной окружности в многоугольник равноудален от всех его сторон.
При этом геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, – биссектриса угла.
А значит, центр вписанной в
окружности лежит на биссектрисе угла
, также на биссектрисе угла
.
Мы можем говорить о равенстве треугольников
и
(по второму признаку). Откуда и вытекает
, то есть треугольник
– равнобедренный.
Что и требовалось доказать.
б) Кстати, из п.а вытекает: биссектриса треугольника
– высота и медиана треугольника
.
Из равенства треугольников и
(по второму признаку) вытекает, что
. Далее, очевидно,
.
По свойству биссектрисы в треугольнике
Учитывая, что (по условию) и
, получаем:
,
то есть
Далее и
По свойству биссектрисы в треугольнике
.
Откуда , то есть
– центр вписанной окружности в треугольник
.
Найдем радиус окружности , вписанной в треугольник
:
где
– полупериметр
Тогда (по т. Пифагора из треугольника
).
Далее
По свойству биссектрисы в треугольнике
Откуда
Наконец, треугольники и
(точки
и
– основания перпендикуляров, опущенных из точек
и
соответственно на сторону
подобны, а значит
или
.
Получаем:
– и есть радиус окружности, вписанной в четырехугольник
.
Ответ:
Здравствуйте, объясните пожалуйста, почему OQ:QC=1/корень из 21.
Если
, при этом
,
, то как раз и получаем:
.
Спасибо
Здравствуйте! Объясните пожалуйста, почему NO-биссектриса треугольника NOC,ведь окружность вписана не в этот треугольник, а в в NOMC?
Тигран, уточните, что имелось ввиду… NO не может быть биссектрисой NOC…