Задание №18 (С4) Т/Р №92 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Биссектрисы AN и BM треугольника ABC пересекаются в точке O, причем BO:OM=4:3, CN=18\sqrt{35}.  В четырехугольник ONCM вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности.

Решение:

а) Вспомним, что центр вписанной окружности в многоугольник равноудален от всех его сторон.

При этом геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, – биссектриса угла.

А значит, центр Q вписанной в ONCM окружности лежит на биссектрисе угла C, также на биссектрисе угла O. Мы можем говорить о равенстве треугольников AOC и BOC (по второму признаку). Откуда и вытекает AC=BC, то есть треугольник ABC – равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

б) Кстати, из п.а вытекает: биссектриса CP треугольника ABC– высота и медиана треугольника ABC.

Из равенства треугольников ONC и OMC (по второму признаку) вытекает, что  NC=MC. Далее, очевидно, AM=BN По свойству биссектрисы  в треугольнике BCM

BO:OM=BC:MC.

Учитывая, что BO:OM=4:3 (по условию) и MC=NC=18\sqrt{35}, получаем:

4:3=BC:18\sqrt{35},

то есть BC=24\sqrt{35}.

Далее и BN=AM=6\sqrt{35}.

По свойству биссектрисы  в треугольнике ABM

BO:OM=AB:AM.

Откуда 4:3=AB:6\sqrt{35}, то есть AB=8\sqrt{35}.

O – центр вписанной окружности в треугольник ABC.

Найдем радиус  окружности PO, вписанной в треугольник ABC:

PO=\frac{S_{ABC}}{p},

где S_{ABC}=\frac{PC\cdot AB}{2}, p – полупериметр ABC.

PO=\frac{\frac{\sqrt{(24\sqrt{35})^2-(4\sqrt{35})^2}\cdot 8\sqrt{35}}{2}}{28\sqrt{35}}=20.

Тогда AO=BO=\sqrt{20^2+(4\sqrt{35})^2}=8\sqrt{15} (по т. Пифагора из треугольника AOP).

Далее ON=OM=\frac{3AO}{4}=6\sqrt{15}.

По свойству биссектрисы в треугольнике ONC

OQ:QC=ON:NC.

Откуда OQ:QC=\frac{1}{\sqrt{21}}

Наконец, треугольники OTC и QHC (точки T и H – основания перпендикуляров, опущенных из точек O и Q соответственно на сторону AC) подобны, а значит

OT:QH=OC:QC

или

OT:QH=(OQ+QC):QC.

Получаем:

\frac{20}{QH}=\frac{OQ}{QC}+1;

\frac{20}{QH}=\frac{1}{\sqrt{21}}+1;

QH=\frac{20}{\frac{1}{\sqrt{21}}+1};

QH=21-\sqrt{21}.

QN – и есть радиус окружности, вписанной в четырехугольник ONCT.

Ответ: 21-\sqrt{21}.

Печать страницы
Комментариев: 5
  1. Ольга

    Здравствуйте, объясните пожалуйста, почему OQ:QC=1/корень из 21.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Если OQ:QC=ON:NC, при этом ON=6\sqrt{15}, NC=18\sqrt{35}, то как раз и получаем:
      OQ:QC=\frac{1}{\sqrt{21}}.

      [ Ответить ]
      • Ольга

        Спасибо

        [ Ответить ]
  2. Тигран

    Здравствуйте! Объясните пожалуйста, почему NO-биссектриса треугольника NOC,ведь окружность вписана не в этот треугольник, а в в NOMC?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Тигран, уточните, что имелось ввиду… NO не может быть биссектрисой NOC…

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif