Задание №18 (С4) Т/Р №92 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20

Биссектрисы $AN$ и $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, причем $BO:OM=4:3$, $CN=18\sqrt{35}.$  В четырехугольник $ONCM$ вписана окружность.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности.

Решение:

а) Вспомним, что центр вписанной окружности в многоугольник равноудален от всех его сторон.

При этом геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, – биссектриса угла.

А значит, центр $Q$ вписанной в $ONCM$ окружности лежит на биссектрисе угла $C$, также на биссектрисе угла $O$. Мы можем говорить о равенстве треугольников $AOC$ и $BOC$ (по второму признаку). Откуда и вытекает $AC=BC$, то есть треугольник $ABC$ – равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

б) Кстати, из п.а вытекает: биссектриса $CP$ треугольника $ABC$– высота и медиана треугольника $ABC$.

Из равенства треугольников $ONC$ и $OMC$ (по второму признаку) вытекает, что  $NC=MC$. Далее, очевидно, $AM=BN$.  По свойству биссектрисы  в треугольнике $BCM$

$BO:OM=BC:MC.$

Учитывая, что $BO:OM=4:3$ (по условию) и $MC=NC=18\sqrt{35}$, получаем:

$4:3=BC:18\sqrt{35}$,

то есть $BC=24\sqrt{35}.$

Далее и $BN=AM=6\sqrt{35}.$

По свойству биссектрисы  в треугольнике $ABM$

$BO:OM=AB:AM$.

Откуда $4:3=AB:6\sqrt{35}$, то есть $AB=8\sqrt{35}.$

$O$ – центр вписанной окружности в треугольник $ABC$.

Найдем радиус  окружности $PO$, вписанной в треугольник $ABC$:

$PO=\frac{S_{ABC}}{p},$

где $S_{ABC}=\frac{PC\cdot AB}{2},$ $p$ – полупериметр $ABC.$

$PO=\frac{\frac{\sqrt{(24\sqrt{35})^2-(4\sqrt{35})^2}\cdot 8\sqrt{35}}{2}}{28\sqrt{35}}=20.$

Тогда $AO=BO=\sqrt{20^2+(4\sqrt{35})^2}=8\sqrt{15}$ (по т. Пифагора из треугольника $AOP$).

Далее $ON=OM=\frac{3AO}{4}=6\sqrt{15}.$

По свойству биссектрисы в треугольнике $ONC$

$OQ:QC=ON:NC.$

Откуда $OQ:QC=\frac{1}{\sqrt{21}}$

Наконец, треугольники $OTC$ и $QHC$ (точки $T$ и $H$ – основания перпендикуляров, опущенных из точек $O$ и $Q$ соответственно на сторону $AC)$ подобны, а значит

$OT:QH=OC:QC$

или

$OT:QH=(OQ+QC):QC$.

Получаем:

$\frac{20}{QH}=\frac{OQ}{QC}+1;$

$\frac{20}{QH}=\frac{1}{\sqrt{21}}+1;$

$QH=\frac{20}{\frac{1}{\sqrt{21}}+1};$

$QH=21-\sqrt{21}.$

$QN$ – и есть радиус окружности, вписанной в четырехугольник $ONCT$.

Ответ: $21-\sqrt{21}.$