Задание № 18 (С4) Т/Р №93 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В трапеции ABCD BC и AD – основания. Биссектриса угла A пересекает сторону CD в ее середине – точке P.
а) Докажите, что BP – биссектриса угла ABC.
б) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP=8, BP=6.

Решение:

a) Докажем, что BP – биссектриса угла B.

 

Пусть N – середина AB. Тогда NP – средняя линия трапеции, в частности, NP||AD||BC.

Углы 1 и 3 (см. рис.) – внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD, NP и секущей AP, значит \angle 1=\angle 3.

С учетом условия \angle 1=\angle 2, получаем: \angle 2=\angle 3, то есть \Delta ANP – равнобедренный.

Но тогда автоматически равнобедренным становится и треугольник NPB. То есть \angle 4=\angle 5. А поскольку \angle 4=\angle 6 (накрест лежащие при BC||NP и секущей BP), то приходим к тому, что \angle 5=\angle 6, то есть BP – биссектриса угла B.

б) Так как точка N равноудалена от точек A,B и P, то N – центр окружности, описанной около треугольника ABP. А поскольку сторона AB – диаметр этой окружности, то угол APB – прямой.

Пусть лучи BC и AP пересекаются в точке F.

 

Треугольники CFP и DAP равны по второму признаку.

Будем рассматривать площадь трапеции S_{ABCD} как S_{APB}+S_{BFP}, то есть нам требуется найти площадь треугольника ABF.

При этом треугольники ABP и FBP, из которых состоит треугольник ABF равны по двум катетам.

S_{ABCD}=2\cdot \frac{6\cdot 8}{2}=48.

Ответ: 48.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Дима

    Интересное решение:) А как обосновать, что AP=PF?

    [ Ответить ]
    • Дима

      А, понял. Я почему-то подумал, что из этого равенства следует равенство треугольников, перепутал

      [ Ответить ]
    • egeMax

      Из равенства треугольников СFP, DAP.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif