Задание №18 (С4) Т/Р №94 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16№17№19№20.

В треугольнике ABC AB=20, AC=24. Окружность с центром O_2 на стороне AC проходит через вершину C, точку пересечения биссектрисы угла A со стороной BC и центр O_1 вписанной в треугольник ABC окружности.
а) Докажите, что прямая O_1O_2 параллельна прямой BC;
б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.

Решение:

a) Докажем, что O_1O_2||BC.

Центр вписанной окружности в треугольник – точка пересечения его биссектрис. Обозначив угол BCO_1 за \alpha, получаем, что и \angle O_1CO_2=\alpha.

Вписанный угол O_1CA опирается на ту же дугу, что и центральный угол O_1O_2A, поэтому \angle O_1O_2A=2\alpha.

Итак, \angle BCA=\angle O_1O_2A, а поскольку углы – соответственные при прямых BC, O_1O_2 и секущей O_1C, то O_1O_2||BC по признаку параллельности прямых.

б) Пусть  биссектриса угла A  пересекает  сторону BC  в точке L. Вписанный угол  O_1LC, опирающийся на дугу O_1C (большую), равную 2\alpha+180^{\circ}, равен \alpha +90^{\circ}. Угол BLA, смежный с углом ALC, есть 90^{\circ}-\alpha.

Из треугольника ALC:

\angle LAC=180^{\circ}-(\angle C+\angle L)=90^{\circ}-3\alpha.

Тогда и \angle BAL=90^{\circ}-3\alpha.

Из треугольника ABL:    \angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle L)=4\alpha.

Распишем площадь треугольника ABC двумя способами:

S=\frac{AB\cdot BC\cdot sin 4\alpha}{2};

S=\frac{AC\cdot BC\cdot sin 2\alpha}{2};

Откуда

20sin4\alpha=24sin2\alpha

или

40sin2\alpha cos2\alpha=24sin2\alpha;

cos2\alpha=\frac{3}{5}.

Заметим, sin2\alpha=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}.

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

\frac{AC}{sinB}=2R,

где R – радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

\frac{24}{sin4\alpha}=2R;

R=\frac{12}{2sin2\alpha cos2\alpha}=\frac{12}{2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}}=12,5.

Ответ: 12,5.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Дима

    Почему угол L=90+a?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Потому что он вписанный, опирается на дугу 180+2a

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif