В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В треугольнике
,
. Окружность с центром
на стороне
проходит через вершину
, точку пересечения биссектрисы угла
со стороной
и центр
вписанной в треугольник
окружности.
а) Докажите, что прямая параллельна прямой
;
б) Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
Решение:
a) Докажем, что
Центр вписанной окружности в треугольник – точка пересечения его биссектрис. Обозначив угол за
, получаем, что и
Вписанный угол опирается на ту же дугу, что и центральный угол
, поэтому
Итак, , а поскольку углы – соответственные при прямых
,
и секущей
, то
по признаку параллельности прямых.
б) Пусть биссектриса угла пересекает сторону
в точке
Вписанный угол
, опирающийся на дугу
(большую), равную
, равен
Угол
, смежный с углом
, есть
Из треугольника :
Тогда и .
Из треугольника :
Распишем площадь треугольника двумя способами:
Откуда
или
Заметим,
Применим теорему синусов к треугольнику
,
где – радиус окружности, описанной около треугольника
.
Ответ: 12,5.
Почему угол L=90+a?
Потому что он вписанный, опирается на дугу 180+2a