Задание №18 (С4) Т/Р №94 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20

В треугольнике $ABC$ $AB=20$, $AC=24$. Окружность с центром $O_2$ на стороне $AC$ проходит через вершину $C$, точку пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$ и центр $O_1$ вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
а) Докажите, что прямая $O_1O_2$ параллельна прямой $BC$;
б) Найдите радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Решение:

a) Докажем, что $O_1O_2||BC.$

Центр вписанной окружности в треугольник – точка пересечения его биссектрис. Обозначив угол $BCO_1$ за $\alpha$, получаем, что и $\angle O_1CO_2=\alpha.$

Вписанный угол $O_1CA$ опирается на ту же дугу, что и центральный угол $O_1O_2A$, поэтому $\angle O_1O_2A=2\alpha.$

Итак, $\angle BCA=\angle O_1O_2A$, а поскольку углы – соответственные при прямых $BC$, $O_1O_2$ и секущей $O_1C$, то $O_1O_2||BC$ по признаку параллельности прямых.

б) Пусть  биссектриса угла $A$  пересекает  сторону $BC$  в точке $L.$ Вписанный угол  $O_1LC$, опирающийся на дугу $O_1C$ (большую), равную $2\alpha+180^{\circ}$, равен $\alpha +90^{\circ}.$ Угол $BLA$, смежный с углом $ALC$, есть $90^{\circ}-\alpha.$

Из треугольника $ALC$:

$\angle LAC=180^{\circ}-(\angle C+\angle L)=90^{\circ}-3\alpha.$

Тогда и $\angle BAL=90^{\circ}-3\alpha$.

Из треугольника $ABL$:    $\angle B=180^{\circ}-(\angle A+\angle L)=4\alpha.$

Распишем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

$S=\frac{AB\cdot BC\cdot sin 4\alpha}{2};$

$S=\frac{AC\cdot BC\cdot sin 2\alpha}{2};$

Откуда

$20sin4\alpha=24sin2\alpha$

или

$40sin2\alpha cos2\alpha=24sin2\alpha;$

$cos2\alpha=\frac{3}{5}.$

Заметим, $sin2\alpha=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}.$

Применим теорему синусов к треугольнику $ABC:$

$\frac{AC}{sinB}=2R$,

где $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

$\frac{24}{sin4\alpha}=2R;$

$R=\frac{12}{2sin2\alpha cos2\alpha}=\frac{12}{2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}}=12,5.$

Ответ: 12,5.