Задание №18 (С4) Т/Р №95 А. Ларина

2023-07-15

Смотрите также №15№16№17№19, №20.

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $K$ так, что $CK:BK=1:2$. Точка $E$ – середина стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $AK$ пересекаются в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $BPC$ и $APC$ имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна 120.

Решение:

a) По свойству медианы $CE$ разбивает треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника. Но и медиана $EP$ треугольника $ABP$ разбивает его на два равновеликих треугольника.

 $S_{APC}=S_{AEC}-S_{AEP}=S_{BEC}-S_{EBP}=S_{PBC}.$

Итак, треугольники $BPC$ и $APC$ имеют равные площади.

б) Найдем, в каком отношении точка $P$ делит отрезок $AK$.

Проведем через  $K$ прямую, параллельную $CE$. Пусть  она пересекает $AB$ в точке $T$.

По теореме о пропорциональных отрезках $BK:KC=BT:TE$, то есть $BT:TE=2:1$, учитывая, что $BK:KC=2:1$ по условию.

,mlm

Но тогда $ET=\frac{BE}{3}$ и $AE:ET=3:1$.

А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и $AP:PK=3:1$.

Далее, пусть для удобства $S_{PKC}=S.$ Поскольку $S_{BPK}:S_{PKC}=BK:KC,$ то $S_{BPK}=2S.$  $S_{APC}=3S.$

oij

Далее

$\frac{S_{ABP}}{S_{KBP}}=\frac{AP}{PK}=3,$

то есть

$S_{ABP}=6S.$

По условию $S_{ABC}=120$, поэтому $12S=120$, то есть $S=10.$

А значит  $S_{ABP}=6S=60.$

Ответ: $60$.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




три + одиннадцать =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif