Задание №18 (С4) Т/Р №95 А. Ларина

2016-09-07

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19, №20.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK:BK=1:2. Точка E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.

Решение:

a) Найдем, в каком отношении точка P делит отрезок AK.

Проведем через  K прямую, параллельную CE. Пусть  она пересекает AB в точке T.

По теореме о пропорциональных отрезках BK:KC=BT:TE, то есть BT:TE=2:1, учитывая, что BK:KC=2:1 по условию.

Но тогда ET=\frac{BE}{3} и AE:ET=3:1.

А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и AP:PK=3:1.

Заметим, расписав площади треугольников APC, PKC через высоту, проведенную из C, что

\frac{S_{APC}}{S_{PKC}}=\frac{AP}{PK}=3.

Аналогичным образом \frac{S_{PBC}}{S_{PKC}}=\frac{BC}{KC}=3.

Итак, равенство S_{APC}=S_{PBC} очевидно.

б) Заметим, S_{AEP}=S_{BEP} в силу того, совпадают высоты, проведенные к равным сторонам AE, BE треугольников.

Пусть для удобства S_{PKC}=S.

Тогда с учетом вышесказанного S_{BPK}=2S,  S_{APC}=3S.

Далее

\frac{S_{ABP}}{S_{KBP}}=\frac{AP}{PK}=3,

то есть

S_{ABP}=6S.

По условию S_{ABC}=120, поэтому 12S=120, то есть S=10.

А значит  S_{ABP}=6S=60.

Ответ: 60.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif