Задание №18 (С4) Т/Р №95 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ выбрана точка $K$ так, что $CK:BK=1:2$. Точка $E$ – середина стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $AK$ пересекаются в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $BPC$ и $APC$ имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна 120.

Решение:

a) По свойству медианы $CE$ разбивает треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника. Но и медиана $EP$ треугольника $ABP$ разбивает его на два равновеликих треугольника.

 $S_{APC}=S_{AEC}-S_{AEP}=S_{BEC}-S_{EBP}=S_{PBC}.$

Итак, треугольники $BPC$ и $APC$ имеют равные площади.

б) Найдем, в каком отношении точка $P$ делит отрезок $AK$.

Проведем через  $K$ прямую, параллельную $CE$. Пусть  она пересекает $AB$ в точке $T$.

По теореме о пропорциональных отрезках $BK:KC=BT:TE$, то есть $BT:TE=2:1$, учитывая, что $BK:KC=2:1$ по условию.

Но тогда $ET=\frac{BE}{3}$ и $AE:ET=3:1$.

А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и $AP:PK=3:1$.

Далее, пусть для удобства $S_{PKC}=S.$ Поскольку $S_{BPK}:S_{PKC}=BK:KC,$ то $S_{BPK}=2S.$  $S_{APC}=3S.$

Далее

$\frac{S_{ABP}}{S_{KBP}}=\frac{AP}{PK}=3,$

то есть

$S_{ABP}=6S.$

По условию $S_{ABC}=120$, поэтому $12S=120$, то есть $S=10.$

А значит  $S_{ABP}=6S=60.$

Ответ: $60$.