Задание №18 (С4) Т/Р №95 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

В треугольнике на стороне выбрана точка так, что . Точка – середина стороны . Отрезки и пересекаются в точке .

а) Докажите, что треугольники и имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника , если площадь треугольника равна 120.

Решение:

a) По свойству медианы разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. Но и медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Итак, треугольники и имеют равные площади.

б) Найдем, в каком отношении точка делит отрезок .

Проведем через   прямую, параллельную . Пусть  она пересекает в точке .

По теореме о пропорциональных отрезках , то есть , учитывая, что по условию.

Но тогда и .

А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и .

Далее, пусть для удобства Поскольку то   

Далее

то есть

По условию , поэтому , то есть

А значит  

Ответ: .