Задание №18 (С4) Т/Р №95 А. Ларина

2017-06-28

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19, №20.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка K так, что CK:BK=1:2. Точка E – середина стороны AB. Отрезки CE и AK пересекаются в точке P.

а) Докажите, что треугольники BPC и APC имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника ABP, если площадь треугольника ABC равна 120.

Решение:

a) По свойству медианы CE разбивает треугольник ABC на два равновеликих треугольника. Но и медиана EP треугольника ABP разбивает его на два равновеликих треугольника.

 S_{APC}=S_{AEC}-S_{AEP}=S_{BEC}-S_{EBP}=S_{PBC}.

Итак, треугольники BPC и APC имеют равные площади.

б) Найдем, в каком отношении точка P делит отрезок AK.

Проведем через  K прямую, параллельную CE. Пусть  она пересекает AB в точке T.

По теореме о пропорциональных отрезках BK:KC=BT:TE, то есть BT:TE=2:1, учитывая, что BK:KC=2:1 по условию.

Но тогда ET=\frac{BE}{3} и AE:ET=3:1.

А значит, по теореме о пропорциональных отрезках и AP:PK=3:1.

 

Далее, пусть для удобства S_{PKC}=S. Поскольку S_{BPK}:S_{PKC}=BK:KC, то S_{BPK}=2S.  S_{APC}=3S.

Далее

\frac{S_{ABP}}{S_{KBP}}=\frac{AP}{PK}=3,

то есть

S_{ABP}=6S.

По условию S_{ABC}=120, поэтому 12S=120, то есть S=10.

А значит  S_{ABP}=6S=60.

Ответ: 60.

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

двадцать − четырнадцать =

//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
//egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif