Задание №18 (С4) Т/Р №96 А. Ларина

2023-07-12

Смотрите также №15 №16№17№19№20.

В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.

а) Докажите, что $EM$ – медиана треугольника $CED$.
б) Найдите длину отрезка $EM$, если $AD=8$, $AB=4$ и угол $CDB$ равен $60^{\circ}$.

Решение:

a) $\angle BAC=\angle BDC$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

$\angle MED$ и  $\angle FAE$ дополняют равные углы $CEM$ и $FEA$ соответственно  до $90^{\circ}$, а значит они равны между собой.

 lk,

Далее, углы $CEM$ и $ECD$ дополняют равные углы $MED$ и $EDC$ соответственно до $90^{\circ}$, а значит оказываются равными.

Итак, треугольники $EMD$ и $EMC$ оказываются равнобедренными (с основаниями $ED$ и $CE$ соответственно). Значит $EM=MD=MC$ и, в частности,  $EM$ – медиана треугольника $CED$.

б) $\Delta BAE:$

$AB=4$,   $\angle BAE=60^{\circ}$. Имеем:  $AE=\frac{AB}{2}=2.$

$\Delta AED:$

$ED=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}.$

шл

Треугольник $EMD$ – равносторонний. $EM=ED=2\sqrt{15}.$

Ответ: $2\sqrt{15}.$

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




4 × пять =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif