Задание №18 (С4) Т/Р №96 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15 №16№17№19№20.

В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к AB, пересекает сторону CD в точке M.

а) Докажите, что EM – медиана треугольника CED.
б) Найдите длину отрезка EM, если AD=8, AB=4 и угол CDB равен 60^{\circ}.

Решение:

a) \angle BAC=\angle BDC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

\angle MED и  \angle FAE дополняют равные углы CEM и FEA соответственно  до 90^{\circ}, а значит они равны между собой.

 

Далее, углы CEM и ECD дополняют равные углы MED и EDC соответственно до 90^{\circ}, а значит оказываются равными.

Итак, треугольники EMD и EMC оказываются равнобедренными (с основаниями ED и CE соответственно). Значит EM=MD=MC и, в частности,  EM – медиана треугольника CED.

б) \Delta BAE:

AB=4,   \angle BAE=60^{\circ}. Имеем:  AE=\frac{AB}{2}=2.

\Delta AED:

ED=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}.

Треугольник EMD – равносторонний. EM=ED=2\sqrt{15}.

Ответ: 2\sqrt{15}.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif