Задание №18 (С4) Т/Р №96 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15,  №16, №17, №19, №20.

В окружность вписан четырехугольник , диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке . Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к , пересекает сторону в точке .

а) Докажите, что – медиана треугольника .
б) Найдите длину отрезка , если , и угол равен .

Решение:

a) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу).

и   дополняют равные углы и соответственно  до , а значит они равны между собой.

Далее, углы и дополняют равные углы и соответственно до , а значит оказываются равными.

Итак, треугольники и оказываются равнобедренными (с основаниями и соответственно). Значит и, в частности,   – медиана треугольника .

б)

,   . Имеем:  

Треугольник – равносторонний.

Ответ: