Задание №18 (С4) Т/Р №97 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Две окружности касаются внешним образом в точке A. Прямая l касается первой окружности в точке B, а второй – в точке C.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если радиусы окружностей 8 и 2.

Решение:

a) Проведем общую касательную к окружностям через точку A. Пусть она пересекает прямую l в точке A.

По свойству отрезков касательных имеем: AD=BD и AD=DC, то есть точка D равноудалена от всех вершин треугольника ABC.

Итак, точка D – центр описанной окружности около треугольника ABC, при этом BC – диаметр этой окружности.  Угол A, опирающийся на диаметр, – прямой.

б) Пусть O_1, O_2 – центры большой и малой окружностей соответственно.

Заметим, O_1B\perp l и O_2C\perp l.

Проведем через центр меньшей окружности  прямую, параллельную l. Пусть она пересекает O_1B в точке E.

Треугольник O_1EO_2 – прямоугольный, известны его гипотенуза и один из катетов. Тогда EO_2=BC=\sqrt{10^2-6^2}=8.

Заметим, sin ADB=sinADC, так как \angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}.

S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot BD\cdot sinADB+\frac{1}{2}AD\cdot DC\cdot sinADC=

=(\frac{BC}{2})^2sinADB.

Заметим, sin ADB=sinO_1, так как в четырехугольнике AO_1BD на сумму углов A и B, а значит и на сумму углов O_1 и ADB, приходится 180^{\circ}.

Из треугольника O_1EO_2:    sinO_1=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.

Итак, S_{ABC}=(\frac{BC}{2})^2sinO_1=16\cdot \frac{4}{5}=12,8.

 Ответ: 12,8.

Печать страницы
Один комментарий
  1. Елена

    Елена, решение построено на чтение рисунка. Просто КЛАСС!!! Спасибо огромное!

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif