Задание №18 (С4) Т/Р №97 А. Ларина

Елена Репина 2014-12-25 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Две окружности касаются внешним образом в точке $A$ . Прямая $l$ касается первой окружности в точке $B$ , а второй – в точке $C$ .
a) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$ , если радиусы окружностей 8 и 2.

Решение:

a) Проведем общую касательную к окружностям через точку $A$ . Пусть она пересекает прямую $l$ в точке $A$ .

kjoij

По свойству отрезков касательных имеем: $AD=BD$ и $AD=DC$ , то есть точка $D$ равноудалена от всех вершин треугольника $ABC$ .

Итак, точка $D$ – центр описанной окружности около треугольника $ABC$ , при этом $BC$ – диаметр этой окружности. Угол $A$ , опирающийся на диаметр, – прямой.

б) Пусть $O_1, O_2$ – центры большой и малой окружностей соответственно.

Заметим, $O_1B\perp l$ и $O_2C\perp l$ .

Проведем через центр меньшей окружности прямую, параллельную $l$ . Пусть она пересекает $O_1B$ в точке $E$ . kjkj

Треугольник $O_1EO_2$ – прямоугольный, известны его гипотенуза и один из катетов. Тогда $EO_2=BC=\sqrt{10^2-6^2}=8.$

Заметим, $sin ADB=sinADC$ , так как $\angle ADB+\angle ADC=180^{\circ}$ .

$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot BD\cdot sinADB+\frac{1}{2}AD\cdot DC\cdot sinADC=$

$=(\frac{BC}{2})^2sinADB$ .

Заметим, $sin ADB=sinO_1$ , так как в четырехугольнике $AO_1BD$ на сумму углов $A$ и $B$ , а значит и на сумму углов $O_1$ и $ADB$ , приходится $180^{\circ}.$