В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Две окружности касаются внешним образом в точке . Прямая
касается первой окружности в точке
, а второй – в точке
.
a) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника , если радиусы окружностей 8 и 2.
Решение:
a) Проведем общую касательную к окружностям через точку . Пусть она пересекает прямую
в точке
.
По свойству отрезков касательных имеем: и
, то есть точка
равноудалена от всех вершин треугольника
.
Итак, точка – центр описанной окружности около треугольника
, при этом
– диаметр этой окружности. Угол
, опирающийся на диаметр, – прямой.
б) Пусть – центры большой и малой окружностей соответственно.
Заметим, и
.
Проведем через центр меньшей окружности прямую, параллельную . Пусть она пересекает
в точке
.
Треугольник – прямоугольный, известны его гипотенуза и один из катетов. Тогда
Заметим, , так как
.
.
Заметим, , так как в четырехугольнике
на сумму углов
и
, а значит и на сумму углов
и
, приходится
Из треугольника
Итак,
Ответ: 12,8.
Елена, решение построено на чтение рисунка. Просто КЛАСС!!! Спасибо огромное!