Задание №18 Т/Р №101 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В остроугольном треугольнике ABC высоты AA_1 и CC_1 пересекаются в точке O.

а) Докажите, что треугольники AOC и C_1OA_1 подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника ACA_1C_1, если известно, что угол ABC равен 30^{\circ} , а площадь треугольника ABC равна 80^{\circ}.

Решение:

а) Точки A, C, A_1, C_1 лежат на одной окружности с диаметром AC.

Поэтому \angle A_1AC=\angle A_1C_1C как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Заметим, \angle AOC=\angle A_1OC_1 как вертикальные.

Тогда \Delta AOC\infty \Delta A_1OC_1 по двум углам.

б) Так по условию \angle B=30^{\circ} и S_{ABC}=80, то

80=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sin 30^{\circ};

320=AB\cdot BC;

Из прямоугольного треугольника AA_1B с углом в 30^{\circ}  AA_1=\frac{AB}{2}.

Аналогично CC_1=\frac{BC}{2}.

Распишем площадь четырехугольника ACA_1C_1:

S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot AA_1\cdot CC_1\cdot sin O;

S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AB}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot sin 150^{\circ};

S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{16}\cdot AB\cdot BC;

S_{ACA_1C_1}=20.

Ответ: 20.

Печать страницы
Комментариев: 10
  1. Искандер

    Достаточно ли для доказательства пункта а) указать, что треугольники АС1О и А1СО подобны (по двум углам) (отсюда следует что OC1/OA1=OA/OC), а углы С1ОА1 и АОС равны как вертикальные?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, конечно.

      [ Ответить ]
      • Роман

        Почему?

        [ Ответить ]
      • Роман

        Почему мы может так это утверждать?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Роман, поконкретней можно? В чем вопрос?

          [ Ответить ]
          • Роман

            Почему за счет подобия одних треугольников можно доказать подобие других?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Первая пара треугольников подобна по двум углам (I признак). Из подобие этой пары треугольников в свою очередь следует пропорциональность соответствующих сторон. А также замечаем, что углы, о которых говорил Искандер, равны.
            То есть вторая пара треугольников уже подобна по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (II признак).

            [ Ответить ]
  2. Роман

    Тогда поконкретней)Почему около четырехугольника AC1A1C можно описать окружность?нам ведь не известно что сумма противоположных углов равна 180?
    Второй вопрос:из подобия прямоугольрых треугольников следует ,что сторона AO подобна ОС,а на надо доказать что AO ПОДОБНА OC1?заранее спасибо)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) Раз треугольники ACC_1,AA_1C имеют общую гипотенузу, то они оказываются вписанными в одну окружность. Посудите сами. Около треугольника всегда можно описать окружность, так? То есть около одного их треугольников, например, около ACC_1 она уже описана. Остается только выяснить, попадет ли четвертая точка, точка A_1 на эту окружность. Как вы думаете, попадет?
      2) Из подобия треугольников AOC_1,COA_1 следует не подобие, а пропорциональность соответствующих сторон AO,CO и OC_1,OA_1.

      [ Ответить ]
      • Роман

        Благодарю за подробное пояснение!

        [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif