Задание №18 Т/Р №101 А. Ларина

2024-03-01

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что треугольники $AOC$ и $C_1OA_1$ подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника $ACA_1C_1$, если известно, что угол $ABC$ равен $30^{\circ}$ , а площадь треугольника $ABC$ равна $80.$

Решение:

а) Точки $A, C, A_1, C_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AC.$

kjh

Поэтому $\angle A_1AC=\angle A_1C_1C$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Заметим, $\angle AOC=\angle A_1OC_1$ как вертикальные.

Тогда $\Delta AOC\infty \Delta A_1OC_1$ по двум углам.

б) Так по условию $\angle B=30^{\circ}$ и $S_{ABC}=80$, то

$80=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sin 30^{\circ};$

$320=AB\cdot BC;$

Из прямоугольного треугольника $AA_1B$ с углом в $30^{\circ}$  $AA_1=\frac{AB}{2}.$

Аналогично $CC_1=\frac{BC}{2}.$

Распишем площадь четырехугольника $ACA_1C_1:$

$S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot AA_1\cdot CC_1\cdot sin O;$

$S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AB}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot sin 150^{\circ};$

$S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{16}\cdot AB\cdot BC;$

$S_{ACA_1C_1}=20.$

Ответ: 20.

Печать страницы
комментариев 10
  1. Искандер

    Достаточно ли для доказательства пункта а) указать, что треугольники АС1О и А1СО подобны (по двум углам) (отсюда следует что OC1/OA1=OA/OC), а углы С1ОА1 и АОС равны как вертикальные?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Да, конечно.

      [ Ответить ]
      • Роман

        Почему?

        [ Ответить ]
      • Роман

        Почему мы может так это утверждать?

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Роман, поконкретней можно? В чем вопрос?

          [ Ответить ]
          • Роман

            Почему за счет подобия одних треугольников можно доказать подобие других?

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Первая пара треугольников подобна по двум углам (I признак). Из подобие этой пары треугольников в свою очередь следует пропорциональность соответствующих сторон. А также замечаем, что углы, о которых говорил Искандер, равны.
            То есть вторая пара треугольников уже подобна по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (II признак).

            [ Ответить ]
  2. Роман

    Тогда поконкретней)Почему около четырехугольника AC1A1C можно описать окружность?нам ведь не известно что сумма противоположных углов равна 180?
    Второй вопрос:из подобия прямоугольрых треугольников следует ,что сторона AO подобна ОС,а на надо доказать что AO ПОДОБНА OC1?заранее спасибо)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      1) Раз треугольники [latexpage]$ACC_1,AA_1C$ имеют общую гипотенузу, то они оказываются вписанными в одну окружность. Посудите сами. Около треугольника всегда можно описать окружность, так? То есть около одного их треугольников, например, около $ACC_1$ она уже описана. Остается только выяснить, попадет ли четвертая точка, точка $A_1$ на эту окружность. Как вы думаете, попадет?
      2) Из подобия треугольников $AOC_1,COA_1$ следует не подобие, а пропорциональность соответствующих сторон $AO,CO$ и $OC_1,OA_1$.

      [ Ответить ]
      • Роман

        Благодарю за подробное пояснение!

        [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




тринадцать − восемь =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif