Задание №18 Т/Р №101 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что треугольники $AOC$ и $C_1OA_1$ подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника $ACA_1C_1$, если известно, что угол $ABC$ равен $30^{\circ}$ , а площадь треугольника $ABC$ равна $80.$

Решение:

а) Точки $A, C, A_1, C_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AC.$

Поэтому $\angle A_1AC=\angle A_1C_1C$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Заметим, $\angle AOC=\angle A_1OC_1$ как вертикальные.

Тогда $\Delta AOC\infty \Delta A_1OC_1$ по двум углам.

б) Так по условию $\angle B=30^{\circ}$ и $S_{ABC}=80$, то

$80=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sin 30^{\circ};$

$320=AB\cdot BC;$

Из прямоугольного треугольника $AA_1B$ с углом в $30^{\circ}$  $AA_1=\frac{AB}{2}.$

Аналогично $CC_1=\frac{BC}{2}.$

Распишем площадь четырехугольника $ACA_1C_1:$

$S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot AA_1\cdot CC_1\cdot sin O;$

$S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AB}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot sin 150^{\circ};$

$S_{ACA_1C_1}=\frac{1}{16}\cdot AB\cdot BC;$

$S_{ACA_1C_1}=20.$

Ответ: 20.