В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В остроугольном треугольнике высоты
и
пересекаются в точке
.
а) Докажите, что треугольники и
подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника , если известно, что угол
равен
, а площадь треугольника
равна
.
Решение:
а) Точки лежат на одной окружности с диаметром
Поэтому как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
Заметим, как вертикальные.
Тогда по двум углам.
б) Так по условию и
, то
Из прямоугольного треугольника с углом в
Аналогично
Распишем площадь четырехугольника
Ответ: 20.
Достаточно ли для доказательства пункта а) указать, что треугольники АС1О и А1СО подобны (по двум углам) (отсюда следует что OC1/OA1=OA/OC), а углы С1ОА1 и АОС равны как вертикальные?
Да, конечно.
Почему?
Почему мы может так это утверждать?
Роман, поконкретней можно? В чем вопрос?
Почему за счет подобия одних треугольников можно доказать подобие других?
Первая пара треугольников подобна по двум углам (I признак). Из подобие этой пары треугольников в свою очередь следует пропорциональность соответствующих сторон. А также замечаем, что углы, о которых говорил Искандер, равны.
То есть вторая пара треугольников уже подобна по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (II признак).
Тогда поконкретней)Почему около четырехугольника AC1A1C можно описать окружность?нам ведь не известно что сумма противоположных углов равна 180?
Второй вопрос:из подобия прямоугольрых треугольников следует ,что сторона AO подобна ОС,а на надо доказать что AO ПОДОБНА OC1?заранее спасибо)
1) Раз треугольники
имеют общую гипотенузу, то они оказываются вписанными в одну окружность. Посудите сами. Около треугольника всегда можно описать окружность, так? То есть около одного их треугольников, например, около
она уже описана. Остается только выяснить, попадет ли четвертая точка, точка
на эту окружность. Как вы думаете, попадет?
следует не подобие, а пропорциональность соответствующих сторон
и
.
2) Из подобия треугольников
Благодарю за подробное пояснение!