Задание №18 Т/Р №103 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В равнобедренной трапеции ABCD точки M и N – середины оснований BC и AD соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN пересекаются в точке K.

а) Докажите, что площадь четырехугольника PMKN равна сумме площадей треугольников ABP и DCK.

б) Найдите площадь четырехугольника PMKN, если известно, что BC=8, AD=18, AB=CD=13.

Решение:

a)

MN – ось симметрии трапеции ABCD.

Поскольку S_{ABP}=S_{DCK}, будем доказывать, например, что

S_{PMKN}=2S_{ABP}.

Имеем

S_{PMKN}=2S_{AMN}-2S_{APN}.

При этом заметим, что S_{AMN}=S_{ABN} и S_{ABN}=S_{ABP}+S_{APN}.

Итак, S_{PMKN}=2S_{AMN}-2S_{APN}=2(S_{ABP}+S_{APN})-2S_{APN}=2S_{ABP}.

Что и требовалось доказать.

б) Пусть BH_1\perp AD,  CH_2\perp AD,  PQ\perp BC,  PT\perp AD.

Очевидно, AH_1=DH_2=5.

Из прямоугольного треугольника ABH_1 находим высоту трапеции:

BH_1=\sqrt{13^2-5^2}=12.

Заметим, \Delta PBM\infty \Delta PNA и коэффициент подобия – 4:9.

Тогда PT=\frac{9}{13}BH_1=\frac{108}{13}.

Из пункта (а) имеем: S_{PMKN}=2S_{ABP}.

При этом

S_{ABP}=S_{ABN}-S_{APN}=\frac{AN\cdot BH_1}{2}-\frac{AN\cdot PT}{2}=\frac{9(12-\frac{108}{13})}{2}=\frac{432}{2\cdot 13}.

Наконец, S_{PMKN}=2S_{ABP}=\frac{432}{13}.

Ответ: \frac{432}{13}.

Печать страницы
Комментариев: 2
  1. Дима

    У Вас опечатка: Sabp=432/(13*2)

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дмитрий, спасибо!

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif