Задание №18 Т/Р №104 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность. На окружности отмечена точка M, не совпадающая ни с одной из точек A, B и C.

а) Докажите, что расстояние от точки M до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках A, B, C и M, если известно, что его площадь равна  \frac{49\sqrt3}{4}, а радиус окружности равен \sqrt{13}.

 Решение:

а) Пусть M – между B и C. Докажем, что AM=BM+CM.

В остальных случаях рассуждения аналогичные.

Пусть \alpha=\angle BOM,   r – радиус окружности, описанной около \Delta ABC.

Из треугольника OBM  (O – центр \Delta ABC) по т. Косинусов:

BM^2=r^2+r^2-2r^2cos\alpha.

Из треугольника OMC по т. Косинусов:

MC^2=r^2+r^2-2r^2cos(120^{\circ}-\alpha).

Из треугольника OAM по т. Косинусов:

AM^2=r^2+r^2-2r^2cos(120^{\circ}+\alpha).

 Тогда

BM+CM-AM=\sqrt2r(\sqrt{1-cos\alpha}+\sqrt{1-cos(120^{\circ}-\alpha)}-\sqrt{1-cos(120^{\circ}+\alpha)})=

=\sqrt2r(\sqrt{2sin^2\frac{\alpha}{2}}+\sqrt{2sin^2(60^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}-\sqrt{2sin^2(60^{\circ}+\frac{\alpha}{2})})=

=2r(|sin\frac{\alpha}{2}|+|sin(60^{\circ}-\frac{\alpha}{2})|-|sin(60^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}|)=

=2r(sin\frac{\alpha}{2}+sin(60^{\circ}-\frac{\alpha}{2})-sin(60^{\circ}+\frac{\alpha}{2})})=

=2r(sin\frac{\alpha}{2}+\frac{\sqrt3}{2}cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2}-\frac{\sqrt3}{2}cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2})=0,

то есть BM+CM=AM.

Что и требовалось доказать.

б) Поскольку радиус окружности, описанной около  \Delta ABC равен \sqrt{13}, то  сторона a треугольника ABC  есть \sqrt{39}.

Заметим, \angle BFM=\frac{1}{2}(\alpha + 120^{\circ})  (F – точка пересечения BC  и  AM).

Имеем

S_{ABMC}=\frac{1}{2}BC\cdot AMsin\angle BFM;

\frac{49\sqrt3}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{39}AMsin(\frac{\alpha}{2}+60^{\circ})         (*)

При этом  AM=\sqrt2r\sqrt{1-cos(\alpha+120^{\circ})}= 2\sqrt{13}sin(\frac{\alpha}{2}+60^{\circ}).

Тогда sin(\frac{\alpha}{2}+60^{\circ})=\frac{AM}{2\sqrt{13}}. Подставляем в (*):

 \frac{49\sqrt3}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{39}\frac{AM^2}{2\sqrt{13}};

AM=7.

Наконец,

P_{ABMC}=2\sqrt{39}+BM+MC=2\sqrt{39}+AM=2\sqrt{39}+7.

Ответ: 2\sqrt{39}+7.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Дима

    Почему угол BFM=(120°+a)/2? Можно подробней?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дмитрий, есть такое свойство:
      Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.
      Попробуйте доказать – хороше свойство.
      Если не получится – обращайтесь, будем вместе разбираться… ;)

      [ Ответить ]
  2. Дима

    Большое спасибо, совсем забыл про это свойство:)

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif