В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Равносторонний треугольник вписан в окружность. На окружности отмечена точка
, не совпадающая ни с одной из точек
,
и
.
а) Докажите, что расстояние от точки до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.
б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках ,
,
и
, если известно, что его площадь равна
, а радиус окружности равен
.
Решение:
а) Пусть – между
и
Докажем, что
В остальных случаях рассуждения аналогичные.
Пусть
– радиус окружности, описанной около
.
Из треугольника (
– центр
) по т. Косинусов:
Из треугольника по т. Косинусов:
Из треугольника по т. Косинусов:
Тогда
то есть .
Что и требовалось доказать.
б) Поскольку радиус окружности, описанной около равен
, то сторона
треугольника
есть
Заметим,
– точка пересечения
и
Имеем
(*)
При этом
Тогда Подставляем в (*):
Наконец,
Ответ:
Почему угол BFM=(120°+a)/2? Можно подробней?
Дмитрий, есть такое свойство:
Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.
Попробуйте доказать – хороше свойство.
Если не получится – обращайтесь, будем вместе разбираться… ;)
Большое спасибо, совсем забыл про это свойство:)