Задание №18 Т/Р №104 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20

Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность. На окружности отмечена точка $M$, не совпадающая ни с одной из точек $A$, $B$ и $C$.

а) Докажите, что расстояние от точки $M$ до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух других вершин.

б) Найдите периметр четырехугольника с вершинами в точках $A$, $B$, $C$ и $M$, если известно, что его площадь равна  $\frac{49\sqrt3}{4}$, а радиус окружности равен $\sqrt{13}$.

 Решение:

а) Пусть $M$ – между $B$ и $C.$ Докажем, что $AM=BM+CM.$

В остальных случаях рассуждения аналогичные.

Пусть $\alpha=\angle BOM,$   $r$ – радиус окружности, описанной около $\Delta ABC$.

Из треугольника $OBM$  ($O$ – центр $\Delta ABC$) по т. Косинусов:

$BM^2=r^2+r^2-2r^2cos\alpha.$

Из треугольника $OMC$ по т. Косинусов:

$MC^2=r^2+r^2-2r^2cos(120^{\circ}-\alpha).$

Из треугольника $OAM$ по т. Косинусов:

$AM^2=r^2+r^2-2r^2cos(120^{\circ}+\alpha).$

 Тогда

$BM+CM-AM=\sqrt2r(\sqrt{1-cos\alpha}+\sqrt{1-cos(120^{\circ}-\alpha)}-\sqrt{1-cos(120^{\circ}+\alpha)})=$

$=\sqrt2r(\sqrt{2sin^2\frac{\alpha}{2}}+\sqrt{2sin^2(60^{\circ}-\frac{\alpha}{2})}-\sqrt{2sin^2(60^{\circ}+\frac{\alpha}{2})})=$

$=2r(|sin\frac{\alpha}{2}|+|sin(60^{\circ}-\frac{\alpha}{2})|-|sin(60^{\circ}+\frac{\alpha}{2})|)=$

$=2r(sin\frac{\alpha}{2}+sin(60^{\circ}-\frac{\alpha}{2})-sin(60^{\circ}+\frac{\alpha}{2}))=$

$=2r(sin\frac{\alpha}{2}+\frac{\sqrt3}{2}cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2}-\frac{\sqrt3}{2}cos\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2})=0,$

то есть $BM+CM=AM$.

Что и требовалось доказать.

б) Поскольку радиус окружности, описанной около  $\Delta ABC$ равен $\sqrt{13}$, то  сторона $a$ треугольника $ABC$  есть $\sqrt{39}.$

Заметим, $\angle BFM=\frac{1}{2}(\alpha + 120^{\circ})$  $(F$ – точка пересечения $BC$  и  $AM).$

Имеем

$S_{ABMC}=\frac{1}{2}BC\cdot AMsin\angle BFM;$

$\frac{49\sqrt3}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{39}AMsin(\frac{\alpha}{2}+60^{\circ})$         (*)

При этом  $AM=\sqrt2r\sqrt{1-cos(\alpha+120^{\circ})}= 2\sqrt{13}sin(\frac{\alpha}{2}+60^{\circ}).$

Тогда $sin(\frac{\alpha}{2}+60^{\circ})=\frac{AM}{2\sqrt{13}}.$ Подставляем в (*):

 $\frac{49\sqrt3}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{39}\frac{AM^2}{2\sqrt{13}};$

$AM=7.$

Наконец,

$P_{ABMC}=2\sqrt{39}+BM+MC=2\sqrt{39}+AM=2\sqrt{39}+7.$

Ответ: $2\sqrt{39}+7.$