Задание №18 Т/Р №106 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены высоты AK, BM и CP.

a) Докажите, что треугольник KMP – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.

Решение:

а) 

Треугольники AKC и CPA равны по гипотенузе и острому углу (AC – общая, \angle A=\angle C (углы при основании равнобедренного треугольника)). Тогда CK=AP.

Треугольники APM  и  CKM  равны по двум сторонам и углу между ними (AM=CM, AP=CK, \angle A=\angle C), откуда следует, что PM=KM, то есть треугольник KMP  – равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

 б) Из треугольника BPC:

cosABC=0,6=\frac{PB}{BC}.

Пусть тогда PB=6x, BC=10x. Очевидно, AP=CK=4x.

 Опять же, из треугольника BPC:

PC=\sqrt{(10x)^2-(6x)^2}=8x.

Из треугольника APC:

AC=\sqrt{(4x)^2+(8x)^2}=4\sqrt5x.

Заметим, sinB=0,8 (из \Delta BPC) и sinA=\frac{2}{\sqrt5} (из \Delta APC).

Далее S_{ABC}=2S_{APM}+12+S_{PBK}.

Тогда

 \frac{AB^2\cdot sinB}{2}=2\cdot \frac{AP\cdot AM\cdot sinA}{2}+12+\frac{PB^2\cdot sinB}{2};

\frac{(10x)^2\cdot 0,8}{2}=2\cdot \frac{4x\cdot 2\sqrt5x\cdot \frac{2}{\sqrt5}}{2}+12+\frac{(6x)^2\cdot 0,8}{2};

40x^2=16x^2+12+\frac{72x^2}{5};

48x^2=12\cdot 5;

x^2=\frac{5}{4}.

Наконец,

S_{ABC}=\frac{(10x)^2\cdot 0,8}{2}=\frac{100\cdot \frac{5}{4}\cdot 0,8}{2}=\frac{100\cdot 5\cdot 4}{2\cdot 4\cdot 5}=50.

Ответ: 50.

Вы можете найти аналогичную задачу здесь.

Печать страницы
Комментариев: 3
  1. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Уважаемая Елена Юрьевна, хотелось бы предложить ещё один способ вычисления площади S треугольника АВС. Если учесть, что ему подобен треугольник КВР с коэффициентом 0,6,то площадь треугольника КВР=0,36S.
    Площадь треугольника МРК относится к сумме площадей треугольников АРМ и МКС как РК к АС,то есть отношение равно 0,6. Так как площадь треугольника МРК равна 12, то сумма площадей указанных треугольников 12:0,6=20. Таким образом, O,36S+12+20=S. Откуда S=50. Ещё раз спасибо за внимание.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна Евгеньевна, спасибо! Ни убавить, ни прибавить – стройно, красиво!

      [ Ответить ]
  2. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Спасибо, мне радостно.

    [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif