Задание №18 Т/Р №106 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведены высоты $AK$, $BM$ и $CP$.

a) Докажите, что треугольник $KMP$ – равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площадь треугольника $KMP$ равна 12, а косинус угла $ABC$ равен 0,6.

Решение:

а) 

Треугольники $AKC$ и $CPA$ равны по гипотенузе и острому углу ($AC$ – общая, $\angle A=\angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника)). Тогда $CK=AP.$

Треугольники $APM$  и  $CKM$  равны по двум сторонам и углу между ними ($AM=CM, AP=CK, \angle A=\angle C$), откуда следует, что $PM=KM,$ то есть треугольник $KMP$  – равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

 б) Из треугольника $BPC:$

$cosABC=0,6=\frac{PB}{BC}.$

Пусть тогда $PB=6x, BC=10x.$ Очевидно, $AP=CK=4x.$

 Опять же, из треугольника $BPC:$

$PC=\sqrt{(10x)^2-(6x)^2}=8x.$

Из треугольника $APC:$

$AC=\sqrt{(4x)^2+(8x)^2}=4\sqrt5x.$

Заметим, $sinB=0,8$ (из $\Delta BPC$) и $sinA=\frac{2}{\sqrt5}$ (из $\Delta APC$).

Далее $S_{ABC}=2S_{APM}+12+S_{PBK}.$

Тогда

 $\frac{AB^2\cdot sinB}{2}=2\cdot \frac{AP\cdot AM\cdot sinA}{2}+12+\frac{PB^2\cdot sinB}{2};$

$\frac{(10x)^2\cdot 0,8}{2}=2\cdot \frac{4x\cdot 2\sqrt5x\cdot \frac{2}{\sqrt5}}{2}+12+\frac{(6x)^2\cdot 0,8}{2};$

$40x^2=16x^2+12+\frac{72x^2}{5};$

$48x^2=12\cdot 5;$

$x^2=\frac{5}{4}.$

Наконец,

$S_{ABC}=\frac{(10x)^2\cdot 0,8}{2}=\frac{100\cdot \frac{5}{4}\cdot 0,8}{2}=\frac{100\cdot 5\cdot 4}{2\cdot 4\cdot 5}=50.$

Ответ: 50.

Вы можете найти аналогичную задачу здесь.