Задание №18 Т/Р №109 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Площадь треугольника равна 72, а сумма длин сторон и равна 24.
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник , если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне .

Решение:

a) Пусть  тогда

Согласно условию

то есть

Имеем

Так как то

Для существования необходимо, чтобы

Так как  то

Итак,

Так как то приходим к следующему неравенству:

Откуда то есть

Треугольник – прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Опираясь на пункт (а), приходим к тому, что то есть – равнобедренный ().

Обозначив сторону квадрата , вписанного в треугольник за , несложно заметить, что гипотенуза треугольника  выражается через .

Поэтому откуда

Ответ: