Задание №18 Т/Р №109 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
Площадь треугольника $ABC$ равна 72, а сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна 24.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $ABC$, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне $AB$.

Решение:

a) Пусть $AC=x,$  тогда $BC=24-x.$

Согласно условию

$S_{ABC}=72,$

то есть

$\frac{1}{2}x(24-x)sinC=72.$

Имеем

$(24x-x^2)sinC=144;$

Так как $sinC\neq 0,$ то

$x^2-24x+\frac{144}{sinC}=0.$

Для существования $x$ необходимо, чтобы $D\geq 0.$

Так как $D=\sqrt{144-\frac{144}{sinC}},$ то

$144-\frac{144}{sinC}\geq 0.$

Итак,

$1-\frac{1}{sinC}\geq 0;$

Так как $sinC>0,$ то приходим к следующему неравенству:

$sinC-1\geq 0;$

$sinC\geq 1;$

Откуда $sinC=1,$ то есть $\angle C=90^{\circ}.$

Треугольник $ABC$ – прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Опираясь на пункт (а), приходим к тому, что $x=12,$ то есть $\Delta ABC$ – равнобедренный ($\angle A=\angle B=45^{\circ}$).

Обозначив сторону квадрата $MNPQ$, вписанного в треугольник $ABC$ за $x$, несложно заметить, что гипотенуза $AB$ треугольника $ABC$ выражается через $3x$.

Поэтому $3x=12\sqrt2,$ откуда $x=4\sqrt2.$

Ответ: $4\sqrt2.$