Задание №18 Т/Р №109 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
Площадь треугольника ABC равна 72, а сумма длин сторон AC и BC равна 24.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне AB.

Решение:

a) Пусть AC=x,  тогда BC=24-x.

Согласно условию

S_{ABC}=72,

то есть

\frac{1}{2}x(24-x)sinC=72.

Имеем

(24x-x^2)sinC=144;

Так как sinC\neq 0, то

x^2-24x+\frac{144}{sinC}=0.

Для существования x необходимо, чтобы D\geq 0.

Так как D=\sqrt{144-\frac{144}{sinC}}, то

144-\frac{144}{sinC}\geq 0.

Итак,

1-\frac{1}{sinC}\geq 0;

Так как sinC>0, то приходим к следующему неравенству:

sinC-1\geq 0;

sinC\geq 1;

Откуда sinC=1, то есть \angle C=90^{\circ}.

Треугольник ABC – прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Опираясь на пункт (а), приходим к тому, что x=12, то есть \Delta ABC – равнобедренный (\angle A=\angle B=45^{\circ}).

Обозначив сторону квадрата MNPQ, вписанного в треугольник ABC за x, несложно заметить, что гипотенуза AB треугольника ABC выражается через 3x.

Поэтому 3x=12\sqrt2, откуда x=4\sqrt2.

Ответ: 4\sqrt2.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif