Задание №18 Т/Р №109 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15№16№17№19№20
Площадь треугольника $ABC$ равна 72, а сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна 24.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $ABC$, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне $AB$.

Решение:

a) Пусть $AC=x,$  тогда $BC=24-x.$

Согласно условию

$S_{ABC}=72,$

то есть

$\frac{1}{2}x(24-x)sinC=72.$

Имеем

$(24x-x^2)sinC=144;$

Так как $sinC\neq 0,$ то

$x^2-24x+\frac{144}{sinC}=0.$

Для существования $x$ необходимо, чтобы $D\geq 0.$

Так как $D=\sqrt{144-\frac{144}{sinC}},$ то

$144-\frac{144}{sinC}\geq 0.$

Итак,

$1-\frac{1}{sinC}\geq 0;$

Так как $sinC>0,$ то приходим к следующему неравенству:

$sinC-1\geq 0;$

$sinC\geq 1;$

Откуда $sinC=1,$ то есть $\angle C=90^{\circ}.$

Треугольник $ABC$ – прямоугольный, что и требовалось доказать.

б) Опираясь на пункт (а), приходим к тому, что $x=12,$ то есть $\Delta ABC$ – равнобедренный ($\angle A=\angle B=45^{\circ}$).

km

Обозначив сторону квадрата $MNPQ$, вписанного в треугольник $ABC$ за $x$, несложно заметить, что гипотенуза $AB$ треугольника $ABC$ выражается через $3x$.

Поэтому $3x=12\sqrt2,$ откуда $x=4\sqrt2.$

Ответ: $4\sqrt2.$

Печать страницы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




2 + три =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif