26 Мар 2015

Категория: 16 (С4) Планиметр. задачиПланиметрияТ/P A. Ларина

Задание №18 Т/Р №110 А. Ларина

Елена Репина 2015-03-26 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$ .
а) Докажите, что углы $ACB$ и $MNB$ равны.
б) Вычислите длину стороны $AC$ , если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $25$ см, периметр треугольника $BMN$ равен $15$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника $BMN$ равен $3$ см.

Решение:

а) Заметим, так как треугольники $ACM,ACN$ имеют общую гипотенузу, то точки $A,N,M,C$ лежат на одной окружности.

Пусть $\angle ACB=\alpha,$ тогда $\angle CAM=90^{\circ}-\alpha.$

А так как $\angle CNM=\angle CAM$ (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то и $\angle CNM=90^{\circ}-\alpha.$

Наконец, $\angle BNM=90^{\circ}-\angle CNM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.$

Итак, $\angle ACB=\angle BNM.$ Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по второму признаку.

Помним, что периметры подобных треугольников находятся в отношении $k$ , где $k$ – коэффициент подобия.

Имеем: $k=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.$

С другой стороны, $k=\frac{BN}{BC}=cosB$ , то есть $cosB=\frac{3}{5}.$

Заметим также, $\frac{MN}{sinB}=2\cdot 3$ (по т. Синусов для треугольника $BMN$ ).

Тогда $\frac{MN}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=6$ , откуда $MN=\frac{24}{5}.$

Наконец, $AC=\frac{5}{3}MN=8.$

Ответ: 8.

Автор: egeMax | Комментариев: 10

Печать страницы

Комментариев: 10

Марат

2015-05-06 в 16:09

Если треугольники имеют общую гипотенузу, их вершины лежат на одной окружности – это следствие из какого – то правила?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-06 в 20:23
  
  Около треугольника всегда можно описать окружность. Для прямоугольного – гипотенуза будет диаметром, верно?
  Видимо, вам не ясно, почему вершина при прямом угле второго треугольника (с той же гипотенузой) окажется на этой же окружности?
  Поможет свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой. Если допустить, что вершина, о которой ведем речь, будет не на окружности, то придем к противоречию.
  
  [ Ответить ]
  - Марат
    
    2015-05-07 в 22:33
    
    Спасибо, большое,Елена Юрьевна, это же элементарно, замечаю, что в 18 задачах вроде все правила знаю, но не всегда вижу…
    
    [ Ответить ]
Дарья

2015-05-30 в 10:16

Добрый день.

Почему в условии написано:”Пусть угол ABC равен а, а на рисунке отмечен угол ACB?”

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-30 в 18:40
  
  Дарья, опечатка. Спасибо.
  
  [ Ответить ]
Дарья

2015-05-30 в 10:45

Почему коэффициент подобия равен косинусу B?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-05-30 в 18:42
  
  С одной стороны, $cosB=\frac{BN}{BC}$ , с другой стороны – $k=\frac{BN}{BC}$ , так как $BN,BC$ – соответственные стороны подобных треугольников.
  
  [ Ответить ]
  - Дарья
    
    2015-05-30 в 18:54
    
    Спасибо огромное.
    
    [ Ответить ]
Наталья

2016-04-23 в 20:41

Как вы нашли коэффициент подобия?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-04-23 в 22:25
  
  Через отношение периметров. Периметры подобных трегольников находятся в отношении k, где k – коэффициент подобия треугольников.
  
  [ Ответить ]

Добавить комментарий