Задание №18 Т/Р №110 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15№16№17, №19№20
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$.
а) Докажите, что углы $ACB$ и $MNB$ равны.
б) Вычислите длину стороны $AC$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $25$ см, периметр треугольника $BMN$ равен $15$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника $BMN$ равен $3$ см.

Решение:

а) Заметим, так как треугольники $ACM,ACN$  имеют общую гипотенузу, то точки $A,N,M,C$ лежат на одной окружности.

uy

Пусть $\angle ACB=\alpha,$ тогда $\angle CAM=90^{\circ}-\alpha.$

А так как $\angle CNM=\angle CAM$ (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то и $\angle CNM=90^{\circ}-\alpha.$

Наконец, $\angle BNM=90^{\circ}-\angle CNM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.$

Итак, $\angle ACB=\angle BNM.$ Что и требовалось доказать.

б) Треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по второму признаку.

Помним, что периметры подобных треугольников находятся в отношении $k$, где $k$ – коэффициент подобия.

Имеем: $k=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.$

С другой стороны, $k=\frac{BN}{BC}=cosB$, то есть $cosB=\frac{3}{5}.$

Заметим также, $\frac{MN}{sinB}=2\cdot 3$ (по т. Синусов для треугольника $BMN$).

Тогда  $\frac{MN}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=6$, откуда $MN=\frac{24}{5}.$

Наконец, $AC=\frac{5}{3}MN=8.$

Ответ: 8.

Печать страницы
комментариев 10
  1. Марат

    Если треугольники имеют общую гипотенузу, их вершины лежат на одной окружности – это следствие из какого – то правила?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Около треугольника всегда можно описать окружность. Для прямоугольного – гипотенуза будет диаметром, верно?
      Видимо, вам не ясно, почему вершина при прямом угле второго треугольника (с той же гипотенузой) окажется на этой же окружности?
      Поможет свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой. Если допустить, что вершина, о которой ведем речь, будет не на окружности, то придем к противоречию.

      [ Ответить ]
      • Марат

        Спасибо, большое,Елена Юрьевна, это же элементарно, замечаю, что в 18 задачах вроде все правила знаю, но не всегда вижу…

        [ Ответить ]
  2. Дарья

    Добрый день.

    Почему в условии написано:”Пусть угол ABC равен а, а на рисунке отмечен угол ACB?”

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дарья, опечатка. Спасибо.

      [ Ответить ]
  3. Дарья

    Почему коэффициент подобия равен косинусу B?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      С одной стороны, [latexpage]$cosB=\frac{BN}{BC}$, с другой стороны – $k=\frac{BN}{BC}$, так как $BN,BC$ – соответственные стороны подобных треугольников.

      [ Ответить ]
      • Дарья

        Спасибо огромное.

        [ Ответить ]
  4. Наталья

    Как вы нашли коэффициент подобия?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Через отношение периметров. Периметры подобных трегольников находятся в отношении k, где k – коэффициент подобия треугольников.

      [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




два × один =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif