Задание №18 Т/Р №110 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17, №19№20.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
а) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
б) Вычислите длину стороны AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.

Решение:

а) Заметим, так как треугольники ACM,ACN  имеют общую гипотенузу, то точки A,N,M,C лежат на одной окружности.

Пусть \angle ACB=\alpha, тогда \angle CAM=90^{\circ}-\alpha.

А так как \angle CNM=\angle CAM (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то и \angle CNM=90^{\circ}-\alpha.

Наконец, \angle BNM=90^{\circ}-\angle CNM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.

Итак, \angle ACB=\angle BNM. Что и требовалось доказать.

б) Треугольники BMN и BAC подобны по второму признаку.

Помним, что периметры подобных треугольников находятся в отношении k, где k – коэффициент подобия.

Имеем: k=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.

С другой стороны, k=\frac{BN}{BC}=cosB, то есть cosB=\frac{3}{5}.

Заметим также, \frac{MN}{sinB}=2\cdot 3 (по т. Синусов для треугольника BMN).

Тогда  \frac{MN}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=6, откуда MN=\frac{24}{5}.

Наконец, AC=\frac{5}{3}MN=8.

Ответ: 8.

Печать страницы
Комментариев: 10
  1. Марат

    Если треугольники имеют общую гипотенузу, их вершины лежат на одной окружности – это следствие из какого – то правила?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Около треугольника всегда можно описать окружность. Для прямоугольного – гипотенуза будет диаметром, верно?
      Видимо, вам не ясно, почему вершина при прямом угле второго треугольника (с той же гипотенузой) окажется на этой же окружности?
      Поможет свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой. Если допустить, что вершина, о которой ведем речь, будет не на окружности, то придем к противоречию.

      [ Ответить ]
      • Марат

        Спасибо, большое,Елена Юрьевна, это же элементарно, замечаю, что в 18 задачах вроде все правила знаю, но не всегда вижу…

        [ Ответить ]
  2. Дарья

    Добрый день.

    Почему в условии написано:”Пусть угол ABC равен а, а на рисунке отмечен угол ACB?”

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Дарья, опечатка. Спасибо.

      [ Ответить ]
  3. Дарья

    Почему коэффициент подобия равен косинусу B?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      С одной стороны, cosB=\frac{BN}{BC}, с другой стороны – k=\frac{BN}{BC}, так как BN,BC – соответственные стороны подобных треугольников.

      [ Ответить ]
      • Дарья

        Спасибо огромное.

        [ Ответить ]
  4. Наталья

    Как вы нашли коэффициент подобия?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Через отношение периметров. Периметры подобных трегольников находятся в отношении k, где k – коэффициент подобия треугольников.

      [ Ответить ]
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif