В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
В остроугольном треугольнике проведены высоты
и
.
а) Докажите, что углы и
равны.
б) Вычислите длину стороны , если известно, что периметр треугольника
равен
см, периметр треугольника
равен
см, а радиус окружности, описанной около треугольника
равен
см.
Решение:
а) Заметим, так как треугольники имеют общую гипотенузу, то точки
лежат на одной окружности.
Пусть тогда
А так как (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то и
Наконец,
Итак, Что и требовалось доказать.
б) Треугольники и
подобны по второму признаку.
Помним, что периметры подобных треугольников находятся в отношении , где
– коэффициент подобия.
Имеем:
С другой стороны, , то есть
Заметим также, (по т. Синусов для треугольника
).
Тогда , откуда
Наконец,
Ответ: 8.
Если треугольники имеют общую гипотенузу, их вершины лежат на одной окружности – это следствие из какого – то правила?
Около треугольника всегда можно описать окружность. Для прямоугольного – гипотенуза будет диаметром, верно?
Видимо, вам не ясно, почему вершина при прямом угле второго треугольника (с той же гипотенузой) окажется на этой же окружности?
Поможет свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой. Если допустить, что вершина, о которой ведем речь, будет не на окружности, то придем к противоречию.
Спасибо, большое,Елена Юрьевна, это же элементарно, замечаю, что в 18 задачах вроде все правила знаю, но не всегда вижу…
Добрый день.
Почему в условии написано:”Пусть угол ABC равен а, а на рисунке отмечен угол ACB?”
Дарья, опечатка. Спасибо.
Почему коэффициент подобия равен косинусу B?
С одной стороны,
, с другой стороны –
, так как
– соответственные стороны подобных треугольников.
Спасибо огромное.
Как вы нашли коэффициент подобия?
Через отношение периметров. Периметры подобных трегольников находятся в отношении k, где k – коэффициент подобия треугольников.