Главная
Справочник
Видеоуроки
ЕГЭ
МГУ
Тесты
Карта сайта
Контакты
Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AM$ и $CN$.
а) Докажите, что углы $ACB$ и $MNB$ равны.
б) Вычислите длину стороны $AC$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен $25$ см, периметр треугольника $BMN$ равен $15$ см, а радиус окружности, описанной около треугольника $BMN$ равен $3$ см.
Решение:
а) Заметим, так как треугольники $ACM,ACN$ имеют общую гипотенузу, то точки $A,N,M,C$ лежат на одной окружности.
Пусть $\angle ACB=\alpha,$ тогда $\angle CAM=90^{\circ}-\alpha.$
А так как $\angle CNM=\angle CAM$ (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), то и $\angle CNM=90^{\circ}-\alpha.$
Наконец, $\angle BNM=90^{\circ}-\angle CNM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.$
Итак, $\angle ACB=\angle BNM.$ Что и требовалось доказать.
б) Треугольники $BMN$ и $BAC$ подобны по второму признаку.
Помним, что периметры подобных треугольников находятся в отношении $k$, где $k$ – коэффициент подобия.
Имеем: $k=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.$
С другой стороны, $k=\frac{BN}{BC}=cosB$, то есть $cosB=\frac{3}{5}.$
Заметим также, $\frac{MN}{sinB}=2\cdot 3$ (по т. Синусов для треугольника $BMN$).
Тогда $\frac{MN}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=6$, откуда $MN=\frac{24}{5}.$
Наконец, $AC=\frac{5}{3}MN=8.$
Ответ: 8.
Если треугольники имеют общую гипотенузу, их вершины лежат на одной окружности – это следствие из какого – то правила?
Около треугольника всегда можно описать окружность. Для прямоугольного – гипотенуза будет диаметром, верно?
Видимо, вам не ясно, почему вершина при прямом угле второго треугольника (с той же гипотенузой) окажется на этой же окружности?
Поможет свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой. Если допустить, что вершина, о которой ведем речь, будет не на окружности, то придем к противоречию.
Спасибо, большое,Елена Юрьевна, это же элементарно, замечаю, что в 18 задачах вроде все правила знаю, но не всегда вижу…
Добрый день.
Почему в условии написано:”Пусть угол ABC равен а, а на рисунке отмечен угол ACB?”
Дарья, опечатка. Спасибо.
Почему коэффициент подобия равен косинусу B?
С одной стороны, [latexpage]$cosB=\frac{BN}{BC}$, с другой стороны – $k=\frac{BN}{BC}$, так как $BN,BC$ – соответственные стороны подобных треугольников.
Спасибо огромное.
Как вы нашли коэффициент подобия?
Через отношение периметров. Периметры подобных трегольников находятся в отношении k, где k – коэффициент подобия треугольников.