Задание №18 Т/Р №112 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Окружность проходит через вершину $C$ прямоугольника $ABCD$, касается стороны $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$ и касается стороны $AD$ в точке $K$.

а) Докажите, что угол $CKD$ равен углу $KMD$.
б) Найдите сторону $AB$, зная, что $AD=18$, $DM=4.$

Решение:

a) Вписанный угол $KCD$  измеряется половиной градусной меры дуги $KM$ также, как и угол $MKD$ между секущей $KM$ и касательной $KD$ измеряется половиной градусной меры дуги $KM$. Из равенства углов $KCD$ и $MKD$ вытекает и равенство углов $CKD$ и $KMD$, так как последние дополняют первые до $90^{\circ}.$

б) Пусть радиус окружности – $r$. Очевидно тогда, с учетом условия задачи, $KD=18-r.$

Так как $CO=MO=r$, то высота $OP$ треугольника $OCM$, проведенная к основанию, является и медианой. Пусть $CP=MP=x.$

Как следует из п.а треугольники $CKD$,  $KMD$ подобны по двум углам, а значит

$\frac{2x+4}{18-r}=\frac{18-r}{4}$   (*)

Далее, замечаем, что $r=x+4.$

Итак, возвращаясь к (*),  имеем

$(18-(x+4))^2=8x+16;$

$x^2-36x+180=0;$

$x=18\pm \sqrt{324-180};$

Откуда следует, что $x=6.$

Итак,  $AB=2x+4=16.$

Ответ: 16.