Задание №18 Т/Р №112 А. Ларина

2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15№16№17№19№20.
Окружность проходит через вершину C прямоугольника ABCD, касается стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K.

а) Докажите, что угол CKD равен углу KMD.
б) Найдите сторону AB, зная, что AD=18DM=4.

Решение:

a) Вписанный угол KCD  измеряется половиной градусной меры дуги KM также, как и угол MKD между секущей KM и касательной KD измеряется половиной градусной меры дуги KM. Из равенства углов KCD и MKD вытекает и равенство углов CKD и KMD, так как последние дополняют первые до 90^{\circ}.

б) Пусть радиус окружности – r. Очевидно тогда, с учетом условия задачи, KD=18-r.

Так как CO=MO=r, то высота OP треугольника OCM, проведенная к основанию, является и медианой. Пусть CP=MP=x.

Как следует из п.а треугольники CKD,  KMD подобны по двум углам, а значит

\frac{2x+4}{18-r}=\frac{18-r}{4}   (*)

Далее, замечаем, что r=x+4.

Итак, возвращаясь к (*),  имеем

(18-(x+4))^2=8x+16;

x^2-36x+180=0;

x=18\pm \sqrt{324-180};

Откуда следует, что x=6.

Итак,  AB=2x+4=16.

Ответ: 16.

Печать страницы
Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif