Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Окружность проходит через вершину $C$ прямоугольника $ABCD$, касается стороны $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$ и касается стороны $AD$ в точке $K$.
а) Докажите, что угол $CKD$ равен углу $KMD$.
б) Найдите сторону $AB$, зная, что $AD=18$, $DM=4.$
Решение:
a) Вписанный угол $KCD$ измеряется половиной градусной меры дуги $KM$ также, как и угол $MKD$ между секущей $KM$ и касательной $KD$ измеряется половиной градусной меры дуги $KM$. Из равенства углов $KCD$ и $MKD$ вытекает и равенство углов $CKD$ и $KMD$, так как последние дополняют первые до $90^{\circ}.$
б) Пусть радиус окружности – $r$. Очевидно тогда, с учетом условия задачи, $KD=18-r.$
Так как $CO=MO=r$, то высота $OP$ треугольника $OCM$, проведенная к основанию, является и медианой. Пусть $CP=MP=x.$
Как следует из п.а треугольники $CKD$, $KMD$ подобны по двум углам, а значит
$\frac{2x+4}{18-r}=\frac{18-r}{4}$ (*)
Далее, замечаем, что $r=x+4.$
Итак, возвращаясь к (*), имеем
$(18-(x+4))^2=8x+16;$
$x^2-36x+180=0;$
$x=18\pm \sqrt{324-180};$
Откуда следует, что $x=6.$
Итак, $AB=2x+4=16.$
Ответ: 16.
Добавить комментарий