Задание №18 Т/Р №112 А. Ларина

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.
Окружность проходит через вершину прямоугольника , касается стороны , пересекает сторону в точке и касается стороны в точке .

а) Докажите, что угол равен углу .
б) Найдите сторону , зная, что , 

Решение:

a) Вписанный угол  измеряется половиной градусной меры дуги также, как и угол между секущей и касательной измеряется половиной градусной меры дуги . Из равенства углов и вытекает и равенство углов и , так как последние дополняют первые до

б) Пусть радиус окружности – . Очевидно тогда, с учетом условия задачи,

Так как , то высота треугольника , проведенная к основанию, является и медианой. Пусть

Как следует из п.а треугольники ,   подобны по двум углам, а значит

  (*)

Далее, замечаем, что

Итак, возвращаясь к (*),  имеем

Откуда следует, что

Итак,  

Ответ: 16.