Задание №18 Т/Р №113 А. Ларина

2023-07-09

Смотрите также №15№16№17№19, №20.

В трапеции $ABCD$ площадью, равной 30, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, а $\angle BAC=\angle CDB$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ – равнобедренная.
б) Найдите площадь треугольника $AKD$, если известно, что $\angle AKD=30^{\circ}$, а $BC<AD.$

Решение:

a) Так как $\angle BAC=\angle CDB$, то точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности. А значит, вписанная в нее трапеция – равнобедренная.

Что и требовалось доказать.

б) $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sin P$, где $P$ – точка пересечения диагоналей.

То есть, с учетом п. а и условия, имеем $60=AC^2.$

uihj

Очевидно, $\angle CAD=45^{\circ}$, тогда так как $\angle KBC=\angle KAD$, то $\angle BAC=30^{\circ}$,  $\Delta AKC$ – равнобедренный, то есть $KC=AC.$

$S_{KBC}=\frac{1}{2}KC^2sinBKC=\frac{1}{2}AC^2\cdot sin30^{\circ}=\frac{60}{4}=15.$

Наконец, $S_{AKD}=S_{ABCD}+S_{KBC}=30+15=45.$

Ответ: 45.

Печать страницы
комментариев 12
  1. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Елена Юрьевна, в предпоследней строчке решения (до “наконец”) необходимо внести исправления.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна Евгеньевна, не вижу ошибки… :(

      [ Ответить ]
  2. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Разве там не угол 30 градусов (угол ВКС?). А синус 120 градусов 1/2? Или я чего-то не поняла?

    [ Ответить ]
    • egeMax

      Татьяна Евгеньевна, конечно. Спасибо за настойчивость!
      Недосып… :) Суета-сует…

      [ Ответить ]
  3. Татьяна Евгеньевна Бондаренко

    Елена Юрьевна, мне тоже свойственно ошибаться под давлением повышенной нагрузки. Будем выручать друг друга. Ваш сайт мне помогает экономить время.

    [ Ответить ]
    • egeMax

      ;) ;) ;)

      [ Ответить ]
  4. Виктория

    Елена Юрьевна,скажите, пожалуйста, почему 60=AC^2???

    [ Ответить ]
    • egeMax

      [latexpage]
      $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot Sin P.$
      По условию $S_{ABCD}=30$.
      $AC=BD$
      $\angle P=90^{\circ}.$

      [ Ответить ]
      • Виктория

        Но квадрат из 60 равен 7.74596669, мы не можем разобраться как получилось 60

        [ Ответить ]
        • egeMax

          Зачем вам квадрат из 60?
          Что именно в моем прошлом комментарии-объяснении вам не понятно?

          [ Ответить ]
          • Виктория

            Не могу понять откуда получилось 60 равное АС в квадрате. Извините, просто с геометрией всегда беда

            [ Ответить ]
          • egeMax

            Виктория, еще раз повторяю вопрос: что именно не понятно в моем пред-предыдущем комментарии.
            Там я вам подробно объясняю, почему AC в квадрате равно 60…

            [ Ответить ]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *




восемнадцать − 2 =

https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_bye.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_good.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_negative.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_scratch.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wacko.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yahoo.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cool.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_heart.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_rose.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_smile.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_whistle3.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_yes.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_cry.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_mail.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_sad.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_unsure.gif 
https://egemaximum.ru/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wpml_wink.gif