Задание №18 Т/Р №113 А. Ларина

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

В трапеции $ABCD$ площадью, равной 30, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, а $\angle BAC=\angle CDB$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ – равнобедренная.
б) Найдите площадь треугольника $AKD$, если известно, что $\angle AKD=30^{\circ}$, а $BC<AD.$

Решение:

a) Так как $\angle BAC=\angle CDB$, то точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности. А значит, вписанная в нее трапеция – равнобедренная.

Что и требовалось доказать.

б) $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sin P$, где $P$ – точка пересечения диагоналей.

То есть, с учетом п. а и условия, имеем $60=AC^2.$

Очевидно, $\angle CAD=45^{\circ}$, тогда так как $\angle KBC=\angle KAD$, то $\angle BAC=30^{\circ}$,  $\Delta AKC$ – равнобедренный, то есть $KC=AC.$

$S_{KBC}=\frac{1}{2}KC^2sinBKC=\frac{1}{2}AC^2\cdot sin30^{\circ}=\frac{60}{4}=15.$

Наконец, $S_{AKD}=S_{ABCD}+S_{KBC}=30+15=45.$

Ответ: 45.