Задание №18 Т/Р №113 А. Ларина

Елена Репина 2015-04-16 2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №16»

Смотрите также №15, №16, №17, №19, №20.

В трапеции $ABCD$ площадью, равной 30, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, а $\angle BAC=\angle CDB$ . Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ .
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ – равнобедренная.
б) Найдите площадь треугольника $AKD$ , если известно, что $\angle AKD=30^{\circ}$ , а $BC<AD$ .

Решение:

a) Так как $\angle BAC=\angle CDB$ , то точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности. А значит, вписанная в нее трапеция – равнобедренная.

Что и требовалось доказать.

б) $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sin P$ , где $P$ – точка пересечения диагоналей.

То есть, с учетом п. а и условия, имеем $60=AC^2.$

uihj

Очевидно, $\angle CAD=45^{\circ}$ , тогда так как $\angle KBC=\angle KAD$ , то $\angle BAC=30^{\circ}$ , $\Delta AKC$ – равнобедренный, то есть $KC=AC.$

$S_{KBC}=\frac{1}{2}KC^2sinBKC=\frac{1}{2}AC^2\cdot sin30^{\circ}=\frac{60}{4}=15.$

Наконец, $S_{AKD}=S_{ABCD}+S_{KBC}=30+15=45.$

Ответ: 45.

Автор: egeMax | комментариев 12

Печать страницы

комментариев 12

Татьяна Евгеньевна Бондаренко

2015-04-19 в 14:31

Елена Юрьевна, в предпоследней строчке решения (до “наконец”) необходимо внести исправления.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-19 в 15:13
  
  Татьяна Евгеньевна, не вижу ошибки… :(
  
  [ Ответить ]
Татьяна Евгеньевна Бондаренко

2015-04-19 в 15:28

Разве там не угол 30 градусов (угол ВКС?). А синус 120 градусов 1/2? Или я чего-то не поняла?

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-19 в 15:32
  
  Татьяна Евгеньевна, конечно. Спасибо за настойчивость!
  Недосып… :) Суета-сует…
  
  [ Ответить ]
Татьяна Евгеньевна Бондаренко

2015-04-19 в 15:56

Елена Юрьевна, мне тоже свойственно ошибаться под давлением повышенной нагрузки. Будем выручать друг друга. Ваш сайт мне помогает экономить время.

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2015-04-19 в 16:05
  
  ;) ;) ;)
  
  [ Ответить ]
Виктория

2016-02-24 в 13:59

Елена Юрьевна,скажите, пожалуйста, почему 60=AC^2???

[ Ответить ]
- egeMax
  
  2016-02-24 в 15:49
  
  $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot Sin P.$
  По условию $S_{ABCD}=30$ .
  $AC=BD$
  $\angle P=90^{\circ}.$
  
  [ Ответить ]
  - Виктория
    
    2016-02-26 в 14:12
    
    Но квадрат из 60 равен 7.74596669, мы не можем разобраться как получилось 60
    
    [ Ответить ]
    - egeMax
      
      2016-02-26 в 15:21
      
      Зачем вам квадрат из 60?
      Что именно в моем прошлом комментарии-объяснении вам не понятно?
      
      [ Ответить ]
      - Виктория
        
        2016-02-28 в 10:30
        
        Не могу понять откуда получилось 60 равное АС в квадрате. Извините, просто с геометрией всегда беда
        
        [ Ответить ]
      - egeMax
        
        2016-02-28 в 19:45
        
        Виктория, еще раз повторяю вопрос: что именно не понятно в моем пред-предыдущем комментарии.
        Там я вам подробно объясняю, почему AC в квадрате равно 60…
        
        [ Ответить ]

Задание №18 Т/Р №113 А. Ларина

Добавить комментарий Отменить ответ